E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On procède, chez un sportif, à l’injection intramusculaire d’un produit. Celui-ci se diffuse progressivement dans le sang. On admet que la concentration de ce produit dans le sang (exprimée en mg/L = milligramme par litre) peut être modélisée par la fonction ?, définie sur
l’intervalle $[0; 10]$ par :
$\hspace{2cm}f(x)= \dfrac{6x}{\e^x}$ où $x$ est le temps exprimé en heure.

Sa courbe représentative $C$ est donnée ci-dessous dans un repère orthonormé du plan.

  1. Montrer que pour tout $x\in[0;10]$, la fonction dérivée de $f$, note $f’$, a pour expression : $$f'(x)=\dfrac{6-6x}{\e^x}$$
    $\quad$
  2. Étudier le signe de $f’$ sur $[0; 10]$ puis en déduire le tableau de variations de $f$ sur $[0; 10]$.
    $\quad$
  3. Quelle est la concentration maximale du médicament dans le sang ? (on donnera la valeur exacte et une valeur approchée à $10^{-1}$ près). Au bout de combien de temps est-elle atteinte ?
    $\quad$
  4. Ce produit fait l’objet d’une réglementation par la fédération sportive : un sportif est en infraction si, au moment du contrôle, la concentration dans son sang du produit est supérieure à $2$ mg/L.
    Le sportif peut-il être contrôlé à tout moment après son injection ? Expliquer votre raisonnement en vous basant sur l’étude de la fonction et/ou une lecture graphique sur la courbe $C$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;10]$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $[0;10]$.
    Pour tout réel $x$ appartenant à $[0;10]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{6\times \e^x-\e^x\times 6x}{\left(\e^x\right)^2} \\
    &=\dfrac{(6-6x)\e^x}{\e^{2x}}\\
    &=\dfrac{6-6x}{\e^x}\end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $6-6x$.
    Or $6-6x=0 \ssi x=1$ et $6-6x>0 \ssi -6x>-6 \ssi x<1$.
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  3. La concentration maximale du médicament dans le sang est $\dfrac{6}{\e} \approx 2,2$ mg/L. Elle est atteinte au bout d’une heure.
    $\quad$
  4. On a $f(1)>2$. Le sportif peut donc être en infraction.
    Graphiquement, on constate que $f(x)>2$ sur l’intervalle $[0,6;1,5]$ (valeurs approchées).
    Le sportif ne peut donc pas être contrôle à tout moment.
    $\quad$

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$\quad$

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