Fonctions

E3C2 – 1ère

La concentration d’un médicament dans le sang en mg.L$^{-1}$ au cours du temps $t$, exprimé en heure, est modélisée par la fonction $f$ définie sur $[0; +\infty[$ par : $f(t)=t\e^{-0,5t}$ dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.

Calculer la valeur exacte de $f(4)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.
Montrer que pour tout $t\in[0;+\infty[$, $f'(t) = (1-0,5t)\e^{-0,5t}$
$\quad$
Étudier le signe de $f'(t)$ sur $[0; +\infty[$.
$\quad$
Déduire de la question précédente le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[0; +\infty[$.
$\quad$
Quelle est la concentration maximale du médicament dans le sang ? On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a :
$\begin{align*} f(4)&=4\e^{-0,5\times 4} \\
&=4\e^{-2}\end{align*}$
La concentration du médicament dans le sang au bout de $4$ heures est égale à $4\e^{-2}$ mg.L$^{-1}$.
$\quad$
La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $[0;+\infty[$.
Pour tout réel $t\pg 0$ on a :
$\begin{align*} f'(t)&=1\times \e^{-0,5t}+t\times (-0,5)\e^{-0,5t} \\
&=(1-0,5t)\e^{-0,5t}\end{align*}$
$\quad$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Le signe de $f'(t)$ ne dépend donc que de celui de $1-0,5t$.
Or $1-0,5t=0 \ssi -0,5t=-1 \ssi t=2$
$1-0,5t>0 \ssi -0,5t>-1 \ssi t<2$
Ainsi :
– $f'(t)>0$ sur $[0;2[$
– $f(2)=0$
– $f'(t)<0$ sur $]2;+\infty[$
$\quad$
On obtient par conséquent le tableau de variations suivant :
$\quad$
La concentration maximale est atteinte au bout de $2$ heures et vaut $2\e^{-1} \approx 0,74$ mg.L$^{-1}$.
$\quad$

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$\quad$

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