Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère la fonction 𝑓 définie sur $\R$ par $f(x)=(2x-1)\e^x$.
On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

Montrer que pour tout réel $x$, $f'(x)=(2x+1)\e^x$.
$\quad$
Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\R$.
$\quad$
En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
Dans les questions suivantes, on note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère.
$\quad$
Déterminer les coordonnées du point d’intersection de $\mathcal{C}$ avec l’axe des ordonnées.
$\quad$
Déterminer une équation de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $0$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=2\times \e^x+(2x-1)\times \e^x\\
&=(2+2x-1)\e^x\\
&=(2x+1)\e^x\end{align*}$
$\quad$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $2x+1$.
$2x+1=0\ssi 2x=-1 \ssi x=-\dfrac{1}{2}$
$2x+1>0\ssi 2x>-1 \ssi x>-\dfrac{1}{2}$
Par conséquent :
– $f'(x)<0$ sur $\left]-\infty;-\dfrac{1}{2}\right[$
– $f’\left(-\dfrac{1}{2}\right)=0$
– $f'(x)>0$ sur $\left]-\dfrac{1}{2};+\infty\right[$
$\quad$
On obtient alors le tableau de variations suivant :
$\quad$
On a $f(0)=-1$.
Le point d’intersection de $\mathscr{C}$ avec l’axe des ordonnées a pour coordonnées $(0;-1)$.
$\quad$
Une équation de $T$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
$f(0)=-1$ et $f'(0)=1$.
Une équation de $T$ est donc $y=x-1$.
$\quad$

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$\quad$

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