E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Soit 𝑓 la fonction définie sur $\R$ par : $f(x)=(5-2x)\e^x$.
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$. Sur la figure ci-dessous, on a tracé la courbe $\mathcal{C}$ dans un repère orthogonal où les unités ont été effacées.
$A$ est le point d’intersection de $\mathcal{C}$ avec l’axe des ordonnées et $B$ le point d’intersection de $\mathcal{C}$ avec l’axe des abscisses.
$D$ est le point de $\mathcal{C}$ dont l’ordonnée est le maximum de la fonction $f$ sur $\R$.

  1. Calculer les coordonnées des points $A$ et $B$.
    $\quad$
  2. Soit $f’$ la fonction dérivée de $f$ sur $\R$. Montrer que, pour tout réel $x$, $$f'(x)=(3-2x)\e^x$$
    $\quad$
  3. Étudier le sens de variation de la fonction $f$.
    $\quad$
  4. En déduire que le point $D$ admet comme coordonnées $\left(1,5;2\e^{1,5}\right)$.
    $\quad$
  5. Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $A$, puis vérifier, à l’aide de l’équation obtenue, que le point $D$ n’appartient pas à cette tangente.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a
    $\begin{align*}f(0)&=5\e^0 \\
    &=5\end{align*}$
    Le point $A$ a donc pour coordonnées $(0;5)$.
    $\quad$
    La fonction exponentielle est strictement positive.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} f(x)=0&\ssi (5-2x)\e^x =0\\
    &\ssi 5-2x=0\\
    &\ssi -2x=-5\\
    &\ssi x=2,5\end{align*}$
    Le point $B$ a donc pour coordonnées $(2,5;0)$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=-2\times \e^x+(5-2x)\times \e^x\\
    &=(-2+5-2x)\e^x\\
    &=(3-2x)\e^x\end{align*}$
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $3-2x$.
    $3-2x=0\ssi -2x=-3 \ssi x=1,5$
    $3-2x>0\ssi -2x>-3 \ssi x<1,5$
    La fonction $f$ est donc :
    – croissante sur l’intervalle $]-\infty;1;5]$
    – décroissante sur l’intervalle $[1,5;+\infty[$
    $\quad$
  4. La fonction $f$ admet donc un maximum pour $x=1,5$.
    Or $f(1,5)=2\e^{1,5}$.
    Ainsi le point $D$ admet pour coordonnées $\left(1,5;2\e^{1,5}\right)$.
    $\quad$
  5. Une équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point $A$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
    Or $f'(0)=3$ et $f(0)=5$.
    Une équation de cette tangente est donc $y=3x+5$
    $\quad$
    $3\times 1,5+5=9,5\neq 2\e^{1,5}$ : le point $D$ n’appartient donc pas à cette droite.
    $\quad$

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$\quad$

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