E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On s’intéresse à la consommation d’essence d’un véhicule en fonction de sa vitesse.

Lecture graphique.
Le graphique ci-dessous représente la consommation d’essence en litres pour $100$ km en fonction de la vitesse en km.h$^{-1}$ du véhicule

Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes :

  1. Quelle est la consommation du véhicule lorsque celui-ci roule à $40$ km.h$^{-1}$ ?
    $\quad$
  2. Pour quelle(s) vitesse(s) le véhicule consomme-t-il $8$ litres pour $100$ km ?
    $\quad$
  3. Pour quelle vitesse la consommation du véhicule semble-t-elle minimale ?
    $\quad$

Modélisation.
Si on note $x$ est la vitesse du véhicule en km.h$^{-1}$, avec $30\pp x\pp 130$, la consommation d’essence en litres pour $100$ km est modélisée par la fonction $f$ d’expression : $$f(x)=\dfrac{20x^2-1~600x+40~000}{x^2}$$
On désigne par $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l’intervalle $[30;130]$.

  1. Montre que pour tout $x \in [30;130]$, $$f'(x)=\dfrac{800(2x-100)}{x^3}$$
  2. Démontrer la conjecture de la question 3.
    $\quad$


$\quad$
Correction Exercice

  1. À $40$ km.h$^{-1}$ la consommation semble être de $5$ litres pour $100$ km.
    $\quad$
  2. Le véhicule consomme $8$ litres pour $100$ km s’il roule environ à $33$ km.h$^{-1}$ ou $100$ km.h$^{-1}$.
    $\quad$
  3. La consommation semble être minimale quand le véhicule roule à $50$ km.h$^{-1}$.
    $\quad$
  4. La fonction $f$ est dérivable comme quotient de fonctions dérivables sur l’intervalle $[30;130]$ dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[30;130]$ on a
    $\begin{align*} f(x)&=\dfrac{20x^2-1~600x+40~000}{x^2} \\
    &=20-\dfrac{1~600}{x}+\dfrac{40~000}{x^2}\end{align*}$
    Ainsi
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1~600}{x^2}-\dfrac{2\times 40~000}{x^3} \\
    &=\dfrac{1~600x-80~000}{x^3} \\
    &=\dfrac{800(2x-100)}{x^3}\end{align*}$
    $\quad$
  5. Sur l’intervalle $[30;130]$ on a $800>0$ et $x^3>0$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $2x-100$.
    Or $2x-100>0 \ssi 2x>100 \ssi x>50$.
    La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $[30;50]$ et strictement croissante sur l’intervalle $[50;130]$.
    Par conséquent la fonction $f$ atteint pour $x=50$.
    Cela démontre donc la conjecture de la question 3.
    $\quad$

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$\quad$

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