Partie A

1. Il s’agit d’une équation du second degré.
   $\begin{align*} \Delta&=(-7)^2-4\times 1\times 6 \\
   &=25\\
   &>0\end{align*}$
   L’équation possède donc deux racines réelles :
   $\begin{align*} x_1&=\dfrac{7-\sqrt{25}}{2}\\
   &=1\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{7+\sqrt{25}}{2}\\
   &=6\end{align*}$
   $\quad$
2. Le coefficient principal du polynôme du second degré $P$ est $a=1>0$.
   Par conséquent :
   – $P(x)<0$ sur $]1;6[$;
   – $P(1)=P(6)=0$
   – $P(x)>0$ sur $]-\infty;1[\cup]6;+\infty[$.
   $\quad$

Partie B

1. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
   Pour tout réel $x$ on a :
   $\begin{align*} f'(x)&=2\times 3x^2-21\times 2x+36\\
   &=6x^2-42x+36\\
   &=6\left(x^2-7x+6\right)\\
   &=6P(x)\end{align*}$
   $\quad$
2. Ainsi, pour tout réel $x$, $f'(x)$ est du signe de $P(x)$.
   – la fonction $f$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $[1;6]$ et strictement croissante sur $]-\infty;1]\cup[6;+\infty[$.
   $\quad$
3. Une équation de la droite $T$ est de la forme $y=f'(3)(x-3)+f(3)$
   Or $f'(3)=-36$ et $f(3)=-27$
   Une équation de $T$ est donc $y=-36(x-3)-27$ soit $y=-36x+81$
   $\quad$