Fonctions

E3C2 – 1ère

On souhaite fabriquer des boîtes de rangement sans couvercle.
Les boîtes auront la forme d’un parallélépipède rectangle de hauteur $16$ cm et de base un rectangle ayant pour dimensions $x$ et $y$ exprimées en cm. Chaque boîte a un volume de $10~000$ cm$^3$.

Calculer $y$ lorsque $x = 20$ cm.
$\quad$
Pour toute valeur de $x > 0$, on note $f(x)$ l’aire du parallélépipède rectangle.
Démontrer que : pour tout $x>0$, $$f(x)=\dfrac{20~000}{x}+32x+625$$
Quelles dimensions doit-on donner à ces boîtes pour que leur surface ait une aire minimale ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Le volume de la boîte est $V=16xy$ avec $V=10~000$
Ainsi si $x=20$ alors
$16\times 20y=10~000 \ssi y=31,25$ cm
$\quad$
$16xy=10~000 \ssi y=\dfrac{10~000}{16x}\ssi y=\dfrac{625}{x}$
L’aire du parallélépipède rectangle est donc :
$\begin{align*} f(x)&=2(16x+16y)+xy \quad (*)\\
&=32x+32y+xy\\
&=32x+32\times \dfrac{625}{x}+x\times \dfrac{625}{x} \\
&=625+32x+\dfrac{20~000}{x}\end{align*}$
$(*)$ la boîte n’a pas de couvercle.
$\quad$
La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=-\dfrac{20~000}{x^2}+32 \\
&=\dfrac{32x^2-20~000}{x^2}\end{align*}$
Pour tout $x>0$ on a $x^2>0$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $32x^2-20~000$.
Or
$32x^2-20~000>0 \ssi 32x^2 > 20~000 \ssi x^2>625$ $\ssi x>25$ car $x>0$.
La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $]0;25]$ et strictement croissante sur l’intervalle $[25;+\infty[$.
La surface est minimale quand $x=25$.
On a alors $y=\dfrac{625}{25}=25$.
La boîte ayant une aire minimale a pour dimension $25$ cm$\times 25$ cm$\times 16$cm.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence