E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Dans le repère ci-dessous, on note $C_f$ la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-10 ; 2]$.
On a placé dans ce repère les points $A(0 ; 2)$, $B(2 ; 0)$ et $C(-2 ; 0)$.
On dispose des renseignements suivants :

  • Le point $B$ appartient à la courbe $C_f$.
  • La droite $(AC)$ est tangente en $A$ à la courbe $C_f$.
  • La tangente à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $1$ est une droite parallèle à l’axe des abscisses.

  1. Déterminer la valeur de $f'(1)$.
    $\quad$
  2. Donner une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point $A$.
    $\quad$

On admet que cette fonction $𝑓$ est définie sur $[-10 ; 2]$ par $f(x) =(2-x)\e^x$.

  1. Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[-10 ; 2]$,
    $$f'(x)=(-x+1)\e^x$$
    $\quad$
  2. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-10 ; 2]$.
    $\quad$
  3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point $B$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. La tangente à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $1$ est une droite parallèle à l’axe des abscisses donc $f'(1)=0$
    $\quad$
  2. Une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point $A$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$.
    $f'(0)$ est le coefficient directeur de la droite $(AC)$.
    Donc
    $\begin{align*} f'(0)&=\dfrac{0-2}{-2-0}\\
    &=1\end{align*}$
    $f(0)=2$
    Ainsi une équation de cette tangente est $y=x+2$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[-10;2]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ appartenant à $[-10;2]$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=-1\times \e^x+(2-x)\times \e^x\\
    &=(-1+2-x)\e^x\\
    &=(1-x)\e^x\end{align*}$
    $\quad$
  4. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-x$.
    $1-x=0 \ssi x=1$
    $1-x>0 \ssi -x>-1 \ssi x<1$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  5. Une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point $B$ est de la forme $y=f'(2)(x-2)+f(2)$.
    Or $f'(2)=-\e^2$ et $f(2)=0$
    Une équation de cette tangente est $y=-\e^2(x-2)$ soit $y=-\e^2x+2\e^2$.
    $\quad$

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$\quad$

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