E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Soit $g$ la fonction définie sur l’intervalle $[-5;5]$ par : $$g(x)=\e^x-x+1$$

  1. . On admet que $g$ est dérivable sur l’intervalle $[-5; 5]$ et on note $g’$ sa fonction dérivée.
    Calculer $g'(x)$.
    $\quad$
  2. Étudier les variations de la fonction $g$ sur l’intervalle $[-5; 5]$.
    $\quad$
  3. Démontrer que $g$ est strictement positive sur $[-5; 5]$, c’est-à-dire que :
    pour tout $x\in [-5; 5], g(x) > 0$.

Soit $f$ la fonction définie sur $[-5; 5]$ par : $$f(x)=x+1+\dfrac{x}{\e^x}$$
On appelle $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
On admet que $f$ est dérivable sur l’intervalle $[-5; 5]$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.

  1. Démontrer que pour tout réel $x$ de $[-5; 5]$, $$f'(x)=\dfrac{1}{\e^x}\times g(x)$$
    En déduire les variations de $f$ sur l’intervalle $[-5; 5]$.
    $\quad$
  2. Déterminer l’équation de la tangente à $C_f$ au point d’abscisse $0$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Pour tout réel $x$ appartenant à $[-5;5]$ on a $g'(x)=\e^x-1$.
    $\quad$
  2. $\e^x-1=0 \ssi \e^x=1 \ssi x=0$
    $\e^x-1>0 \ssi \e^x >1 \ssi x>0$
    La fonction $g$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $[-5;0]$ et strictement croissante sur l’intervalle $[0;5]$
    $\quad$
  3. La fonction $g$ admet donc un minimum au point d’abscisse $0$.
    Or $g(0)=2$.
    Par conséquent $g$ est strictement positive sur $[-5;5]$.
    $\quad$
  4. La fonction $f$ est dérivable en tant que somme et quotient de fonctions dérivables sur $[-5;5]$ dont le dénominateur ne s’annule pas sur $[-5;5]$.
    Pour tout $x$ de $[-5;5]$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=1+0+\dfrac{1\times \e^x-x\times \e^x}{\e^{2x}}\\
    &=1+\dfrac{1-x}{\e^x} \\
    &=\dfrac{\e^x-x+1}{\e^x}\\
    &=\dfrac{1}{\e^x}\times g(x)\end{align*}$
    $\quad$
    La fonction $g$ est strictement positive sur $[-5;5]$ et la fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Par conséquent $f'(x)>0$ sur $[-5;5]$ et la fonction $f$ est strictement croissante sur $[-5;5]$.
    $\quad$
  5. Une équation de la tangente à $C_f$ au point d’abscisse $0$ est $y=f'(0)(x-0)+f(0)$.
    Or $f(0)=1$ et $f'(0)=2$
    Une équation de cette tangente est donc $y=2x+1$.
    $\quad$

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$\quad$

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