E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[-1;5] par : $$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$$

  1. Soit $f’$ la fonction dérivée de $f$. Déterminer, pour tout nombre réel $x$ de $[-1; 5]$, l’expression de $f'(x)$.
    $\quad$
  2. Montrer que pour tout nombre réel $x$ de $[-1; 5]$, $f’′(x) = 3(x-1)(x-3)$.
    $\quad$
  3. Dresser le tableau de signe de $f'(x)$ sur $[-1; 5]$ et en déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur ce même intervalle.
    $\quad$
  4. Déterminer l’équation de la tangente $T$ à la courbe de la fonction $f$ au point d’abscisse $0$.
    $\quad$
  5. Déterminer l’autre point de la courbe de $f$ en lequel la tangente est parallèle à $T$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $[-1;5]$ en tant que polynôme.
    Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[-1;5]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=3x^2-6\times 2x+9 \\
    &=3x^2-12x+9\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ appartenant à $[-1;5]$ on a :
    $\begin{align*} 3(x-1)(x-3)&=(3x-3)(x-3)\\
    &=3x^2-9x-3x+9\\
    &=3x^2-12x+9\\
    &=f'(x)\end{align*}$
    $\quad$
  3. $f'(x)$ est donc un polynôme du second degré dont les racines sont $1$ et $3$ et dont le coefficient principal est $a=3>0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  4. Une équation de la droite $T$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
    Or $f(0)=1$ et $f'(0)=9$
    Ainsi, une équation de $T$ est $y=9x+1$.
    $\quad$
  5. On veut donc résoudre l’équation
    $\begin{align*} f'(x)=9 &\ssi 3x^2-12x+9=9 \\
    &\ssi 3x^2-12x=0\\
    &\ssi 3x(x-4)=0\end{align*}$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $x=0$ ou $x-4=0 \ssi x=4$
    Ainsi la tangente à la courbe représentant la fonction $f$ au point d’abscisse $4$ est parallèle à $T$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence