Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[-1;5]$ par : $$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$$

Soit $f’$ la fonction dérivée de $f$. Déterminer, pour tout nombre réel $x$ de $[-1; 5]$, l’expression de $f'(x)$.
$\quad$
Montrer que pour tout nombre réel $x$ de $[-1; 5]$, $f'(x) = 3(x-1)(x-3)$.
$\quad$
Dresser le tableau de signe de $f'(x)$ sur $[-1; 5]$ et en déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur ce même intervalle.
$\quad$
Déterminer l’équation de la tangente $T$ à la courbe de la fonction $f$ au point d’abscisse $0$.
$\quad$
Déterminer l’autre point de la courbe de $f$ en lequel la tangente est parallèle à $T$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

La fonction $f$ est dérivable sur $[-1;5]$ en tant que polynôme.
Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[-1;5]$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=3x^2-6\times 2x+9 \\
&=3x^2-12x+9\end{align*}$
$\quad$
Pour tout réel $x$ appartenant à $[-1;5]$ on a :
$\begin{align*} 3(x-1)(x-3)&=(3x-3)(x-3)\\
&=3x^2-9x-3x+9\\
&=3x^2-12x+9\\
&=f'(x)\end{align*}$
$\quad$
$f'(x)$ est donc un polynôme du second degré dont les racines sont $1$ et $3$ et dont le coefficient principal est $a=3>0$.
On obtient donc le tableau de variations suivant :

$\quad$
Une équation de la droite $T$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
Or $f(0)=1$ et $f'(0)=9$
Ainsi, une équation de $T$ est $y=9x+1$.
$\quad$
On veut donc résoudre l’équation
$\begin{align*} f'(x)=9 &\ssi 3x^2-12x+9=9 \\
&\ssi 3x^2-12x=0\\
&\ssi 3x(x-4)=0\end{align*}$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
Donc $x=0$ ou $x-4=0 \ssi x=4$
Ainsi la tangente à la courbe représentant la fonction $f$ au point d’abscisse $4$ est parallèle à $T$.
$\quad$

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$\quad$

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