E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Partie A : lecture graphique

  1. Dans le plan muni d’un repère orthonormé, $C_f$ est la courbe représentative d’une fonction $f$, définie et dérivable sur l’ensemble $\R$ des nombres réels.
    Dans la figure ci-dessus, on a tracé la courbe $\C_f$.
    Les points $A$ et $B$ sont les points de $C_f$ d’abscisses respectives $-2$ et $0$, et on a tracé les tangentes à $C_f$ en ces points.
    On suppose que la tangente en $A$ est parallèle à l’axe des abscisses et que la tangente en $B$ passe par le point $C(1; 6)$.
    $\quad$
    On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.
    Lire graphiquement les valeurs de $f'(-2)$ et $f'(0)$. Justifier brièvement.

    $\quad$

Partie B : Calcul algébrique

La fonction représentée sur le graphique précédent est la fonction $f$ définie sur l’ensemble $\R$ des nombres réels par : $$f(x)=\e^x(2x+2)$$
On admet que $f$ est dérivable sur $\R$.

  1. Montrer que pour tout nombre réel $x$, $f'(x)=\e^x(2x+4)$.
    $\quad$
  2. Étudier le signe de $f’$ sur $\R$, puis en déduire le tableau de variation de $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  3. Déterminer par le calcul, l’équation réduite de la tangente à $C_f$ au point d’abscisse $0$.
    $\quad$
  4. Justifier par le calcul les deux résultats suivants admis au début de l’exercice :
    – La tangente en $A$ est parallèle à l’axe des abscisses.
    – La tangente en $B$ passe par le point $C(1;6)$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. La tangente en $A$, d’abscisse $-2$, à $C_f$ est parallèle à l’axe des abscisses. Donc $f'(-2)=0$.
    $f'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente à $C_f$ au point $B$ d’abscisse $0$, c’est-à-dire celui de la droite $(BC)$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} f'(0)&=\dfrac{6-2}{1-0}\\
    &=4\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\e^x\times (2x+2)+\e^x\times 2 \\
    &=(2x+2+2)\e^x\\
    &=(2x+4)\e^x\end{align*}$
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $2x+4$.
    $2x+4=0 \ssi 2x=-4 \ssi x=-2$
    $2x+4>0 \ssi 2x>-4 \ssi x>-2$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  4. Une équation de cette tangente est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
    $f'(0)=4$ et $f(0)=2$
    Une équation de cette tangente est donc $y=4x+2$.
    $\quad$
  5. Pour tout réel $a$ $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à $C_f$ au point d’abscisse $a$.
    $f'(-2)=0$ donc la tangente en $A$ est parallèle à l’axe des abscisses.
    $f'(0)=4$ et le coefficient directeur de la droite $(BC)$ est $4$.
    La tangente à $C_f$ en $B$ et la droite $(BC)$ ont le même coefficient directeur. Elles sont donc confondues et le point $C$ appartient à cette tangente.
    $\quad$

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$\quad$

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