E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Soit $f$ la fonction dérivable définie sur $[-3 ; 3]$ par $f(x)=2x^3+2x^2-2x+1$. On note $C$ sa courbe représentative dans un repère donné.

  1. . Déterminer $f'(x)$, où $f’$ est la fonction dérivée de $f$ sur $[-3 ; 3]$.
    $\quad$
  2. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $[-3 ; 3]$.
    $\quad$
  3. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-3 ; 3]$. Les valeurs aux bornes pourront être données en valeur approchée à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  4. a. Vérifier qu’une équation de la tangente $T$ à la courbe $C$ au point $A$ d’abscisse $0$, est $y=-2x+1$.
    $\quad$
    b. Montrer que cette tangente $T$ passe par un point $B$ de la courbe $C$, avec $B$ distinct du point $A$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Pour tout réel $x$ appartenant à $[-3;3]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2\times 3x^2+2\times 2x-2 \\
    &=6x^2+4x-2\end{align*}$
    $\quad$
  2. $f'(x)$ est donc un polynôme du second degré.
    Son discriminant est :
    $\begin{align*} Delta&=4^2-4\times 6\times (-2) \\
    &=64\\
    &>0\end{align*}$
    Il possède donc deux racines réelles:
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-4-\sqrt{64}}{12} \\
    &=-1\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-4+\sqrt{64}}{12} \\
    &=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
    Le coefficient principal est $a=6>0$.
    Ainsi :
    $\bullet$ $f'(x)<0$ sur $\left]-1;\dfrac{1}{3}\right[$
    $\bullet$ $f'(-1)=f\left(\dfrac{1}{3}\right)=0$
    $\bullet$ $f'(x)>0$ sur $[-3;-1[\cup\left]\dfrac{1}{3};3\right]$
    $\quad$
  3. On obtient le tableau de variations suivant :
    Avec $f\left(\dfrac{1}{3}\right)\approx 0,63$.
    $\quad$
  4. a. Une équation de la droite $T$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
    Or $f(0)=1$ et $f'(0)=-2$.
    Une équation de $T$ est donc $y=-2x+1$.
    $\quad$
    b. On veut résoudre l’équation :
    $\begin{align*} f(x)=-2x+1&\ssi 2x^3+2x^2-2x+1=-2x+1\\
    &\ssi 2x^3+2x^2=0\\
    &\ssi 2x^2(x+1)=0\end{align*}$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Ainsi $2x^2=0 \ssi x=0$ ou $x+1=0\ssi x=-1$
    $f(-1)=3$.
    Le point $B(-1;3)$ appartient donc à la fois à $T$ et à $C$.
    $\quad$

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$\quad$

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