E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-4; 4]$ par $f(x) = x^3+3x^2-9x-20$.
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[-4; 4]$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.

La courbe représentative de la fonction $f$, notée $C$, est tracée dans le repère ci-dessous.
La droite $T$ tracée dans le repère est la tangente à la courbe $C$ au point d’abscisse $0$.

  1. Déterminer graphiquement les extrema de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Déterminer l’expression de $f'(x)$ sur $[-4; 4]$.
    $\quad$
  3. Étudier le signe de $3x^2+6x-9$ en fonction de $x$ sur $[-4; 4]$.
    $\quad$
  4. En déduire le tableau de variations de $f$ sur $[-4; 4]$ et retrouver les résultats de la question 1.
    $\quad$
  5. Déterminer l’équation réduite de la droite $T$, tangente à la courbe $C$ au point d’abscisse $0$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

    1. Graphiquement, il semblerait que le minimum soit égal à $-25$ et le maximum soit égal à $7$.
      $\quad$
    2. Pour tout réel $x$ appartenant à $[-4;4]$ on a :
      $\begin{align*} f'(x)&=3x^2+3\times 2x-9 \\
      &=3x^2+6x-9\end{align*}$
      $\quad$
    3. $3x^2+6x-9$ est un polynôme du second degré.
      Son discriminant est :
      $\begin{align*}
      \Delta&=6^2-4\times 3\times (-9) \\
      &=144\\
      &>0\end{align*}$
      Il possède donc deux racines réelles:
      $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-6-\sqrt{144}}{6}\\
      &=-3\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-6+\sqrt{144}}{6}\\
      &=1\end{align*}$
      Le coefficient principal est $a=3>0$.
      Par conséquent :
      – $f'(x)<0$ sur $]-3;1[$
      – $f'(-3)=f(1)=0$
      – $f'(x)>0$ sur $[-4;-3[\cup]1;4]$
      $\quad$
    4. On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

      D’après le tableau de variations, le maximum est bien $7$ et le minimum est $-25$.
      $\quad$
    5. Une équation de la droite $T$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
      Or $f'(0)=-9$ et $f(0)=-20$
      Une équation de $T$ est donc $y=-9x-20$.
      $\quad$

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$\quad$

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