E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

  1. Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[0; 2]$ par $f(x)=8x-2x^3$.
    a. Montrer que pour tout réel $x$ de $[0; 2]$, $f'(x)$ a le même signe que $4-3x^2$.
    $\quad$
    b. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0 ; 2]$.
    $\quad$
  2. Dans un repère orthonormal, on considère la parabole $p$ d’équation $y=x^2$ et la droite $\mathscr{D}$ d’équation $y=4$.
    On considère le rectangle $MSFE$ tel que :

    • $M$ un point de $p$ dont l’abscisse $x$ est un réel de $]0 ; 2[$.
    • $S$ est le symétrique de $M$ par rapport à l’axe des ordonnées.
    • $E$ et $F$ sont respectivement les projetés orthogonaux de $M$ et $S$ sur la droite $\mathscr{D}$.
      $\quad$
      a. Lorsque l’abscisse $x$ du point $M$ varie dans $]0 ; 2[$, l’aire du rectangle $MSFE$ est-elle constante ?
      $\quad$
      b. Montrer que l’aire du rectangle $MSFE$ en fonction de l’abscisse $x$ de $M$ est $8x-2x^3$.
      $\quad$
      c. Montrer que l’aire maximale du rectangle $MSFE$ est $\dfrac{32}{3\sqrt{3}}$.
      $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;2]$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;2]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=8-2\times 3x^2 \\
    &=8-6x^2\\
    &=2\left(4-3x^2\right)\end{align*}$
    Donc $f'(x)$ est du signe de $4-3x^2$.
    $\quad$
    b. $4-3x^2=0 \ssi 3x^2=4$ $\ssi x^2=\dfrac{4}{3}$ $\ssi x=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ ou $x=-\dfrac{2}{\sqrt{3}}$.
    $\begin{align*}4-3x^2>0 &\ssi -3x^2>-4\\
    &\ssi x^2<\dfrac{4}{3} \\
    &\ssi -\dfrac{2}{\sqrt{3}}<x<\dfrac{2}{\sqrt{3}}\end{align*}$
    Par conséquent :
    – $f'(x)>0$ sur $\left[0;\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right[$
    – $f\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)=0$
    – $f(x)<0$ sur $\left]\dfrac{2}{\sqrt{3}};2\right[$
    Ainsi $f$ est croissante sur $\left[0;\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right]$ et décroissante sur $\left[\dfrac{2}{\sqrt{3}};2\right[$.
    $\quad$
  2. a. On a $MS=2x$ et $ME=4-x^2$
    L’aire du rectangle $MSFE$ est donc :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=MS\times ME \\
    &=2x\left(4-x^2\right) \\
    &=8x-2x^3\\
    &=f(x)\end{align*}$
    L’aire du rectangle $MSFE$ n’est donc pas constante.
    $\quad$
    b. voir question précédente
    $\quad$
    c. D’après la question 1.b. la fonction $f$ atteint son maximum pour $x=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$.
    $\begin{align*} f\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)&=8\times \dfrac{2}{\sqrt{3}}-2\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^3\\
    &=\dfrac{16}{\sqrt{3}}-\dfrac{16}{3\sqrt{3}} \\
    &=\dfrac{32}{3\sqrt{3}}\end{align*}$
    L’aire maximale du rectangle $MSFE$ est donc $\dfrac{32}{3\sqrt{3}}$.
    $\quad$

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$\quad$

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