E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

  1. Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par $f(x)=x^2-3x+4$.
    Etudier les variations de $f$ sur $[0; +\infty[$.
    $\quad$
  2. Dans un repère orthonormé, on considère la courbe $C$ représentant la fonction racine carrée et le point $A(2 ; 0)$.
    a. Soit $M(x ; y)$ un point de $C$. Exprimer $y$ en fonction de $x$.
    $\quad$
    b. En déduire que $AM^2=x^2-3x+4$.
    $\quad$
    c. Déterminer les coordonnées du point de $C$ le plus proche de $A$.
    Ce point est noté $B$ pour la suite.
    $\quad$
    d. Un élève affirme que la tangente en $B$ à $C$ est perpendiculaire au segment $[AB]$.
    A-t-il raison ? Justifier.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $f$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $a=1>0$.
    La fonction $f$ admet donc un minimum dont l’abscisse est :
    $\begin{align*} x_0&=-\dfrac{b}{2a} \\
    &=-\dfrac{-3}{2}\\
    &=1,5\end{align*}$
    Ainsi la fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[0;1,5]$ et strictement croissante sur l’intervalle $[1,5;+\infty[$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout point $M(x;y)$ de $C$ on a $y=\sqrt{x}$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} AM^2&=(x-2)^2+(y-0)^2 \\
    &=x^2-4x+4+y^2 \\
    &=x^2-4x+4+x\\
    &=x^2-3x+4\end{align*}$
    $\quad$
    c. $AM$ est minimal quand $AM^2$ est minimal, c’est-à-dire quand $f(x)$ est minimal.
    Ainsi $AM$ est minimal quand $x=1,5$.
    Le point $B$ a donc pour coordonnées $\left(1,5;\sqrt{1,5}\right)$.
    $\quad$
    d. La fonction racine carrée est dérivable sur $]0;+\infty[$ et pour tout réel $x$ le nombre dérivée associé est $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.
    Ainsi, un vecteur directeur de la tangente en $B$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\\dfrac{1}{2\sqrt{1,5}}\end{pmatrix}$.
    De plus $\vect{AB}\begin{pmatrix}-0,5\\\sqrt{1,5}\end{pmatrix}$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \vec{u}.\vect{AB}&=-0,5\times 1+\dfrac{1}{2\sqrt{1,5}}\times \sqrt{1,5}\\
    &=-0,5+\dfrac{1}{2}\\
    &=0\end{align*}$
    Les deux vecteurs sont orthogonaux.
    L’élève a donc raison.
    $\quad$

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$\quad$

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