E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

  1.  Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=4x^3-48x^2+144x$.
    a. Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)=12\left(x^2-8x+12\right)$.
    $\quad$
    b. En déduire le tableau variations de la fonction $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  2. Dans une plaque de carton carrée de $12$ cm de côté, on découpe, aux quatre coins, des carrés identiques afin de construire une boîte sans couvercle, comme indiqué sur les figures ci-dessous.
    On note $x$ la longueur (en cm) du côté de chacun des carrés découpés.
    On admet que $x\in]0;6[$.

    L’objectif est de déterminer la longueur $x$ permettant d’obtenir une boîte de volume maximal.
    a. Montrer que le volume de la boîte est égal à $100$ cm$^3$ pour $x=1$. Détailler le calcul.
    $\quad$
    b. Montrer que, pour $x\in]0;6[$, le volume de la boîte est égal à $f(x)$, $f$ étant la fonction étudiée à la question 1.
    $\quad$
    c. Quelle est la valeur de 𝑥 permettant d’obtenir une boîte de volume maximal ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=4\times 3x^2-48\times 2x+144
    &=12x^2-96x+144\\
    &=12\left(x^2-8x+12\right)\end{align*}$
    $\quad$
    b. Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $x^2-8x+12$.
    Son discriminant est :
    $\begin{align*} \Delta&=(-8)^2-4\times 1\times 12\\
    &=16\\
    &>0\end{align*}$
    Les deux racines réelles sont :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{8-\sqrt{16}}{2}\\
    &=2\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{8+\sqrt{16}}{2}\\
    &=6\end{align*}$
    Le coefficient principal est $a=1>0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$
  2. a. Si $x=1$ alors le volume de la boîte est :
    $\begin{align*} V(1)&=1\times (12-2)^2 \\
    &=100\text{ cm}^3\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x$ appartenant à $]0;6[$ le volume de la boîte est :
    $\begin{align*} V(x)&=x\times (12-2x)^2 \\
    &=x\left(144-48x+4x^2\right) \\
    &=4x^3-48x^2+144x\\
    &=f(x)\end{align*}$
    $\quad$
    c. D’après le tableau de variations de la fonction $f$, le volume est maximal quand $x=2$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence