E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On applique une tension sinusoïdale $u$ aux bornes d’un circuit électrique comportant en série une résistance et une diode idéale.

Le temps $t$ est exprimé en seconde.

La tension est donnée par la fonction $u$ définie pour tout réel $t\pg 0$ par : $$u(t)=\sqrt{3}\sin\left(100\pi t+\dfrac{\pi}{3}\right)$$
La diode est non passante si $u(t) \pp \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et elle est passante si $u(t)>\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

  1. La diode est-elle passante à l’instant $t = 0$ ?
    $\quad$
  2. Calculer $u\left(\dfrac{1}{100}\right)$. Interpréter le résultat.
    $\quad$
  3. On admet que $u\left(t+\dfrac{2}{100}\right)=u(t)$ pour tout $t\pg 0$. En déduire une propriété de la fonction $u$.
    $\quad$
  4. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction $u$ sur l’intervalle $[0; 0,02]$ :

    On cherche à savoir au bout de combien de temps la diode devient non passante pour la première fois.
    a. Conjecturer la solution du problème à l’aide du graphique.
    $\quad$
    b. Calculer $u(0,005)$ et conclure.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a
    $\begin{align*} u(0)&=\sqrt{3}\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \\
    &=\sqrt{3}\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
    &=\dfrac{3}{2}\\
    &>\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{align*}$
    La diode est donc passante à l’instant $t=0$.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} u\left(\dfrac{1}{100}\right)&=\sqrt{3}\sin\left(\pi+\dfrac{\pi}{3}\right) \\
    &=\sqrt{3}\times \left(-\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right) \\
    &=-d\frac{3}{2}\end{align*}$
    La diode n’est pas passante à l’instant $t=\dfrac{1}{100}$.
    $\quad$
  3. La fonction $u$ est donc périodique de période $T=\dfrac{2}{100}$.
    $\quad$
  4. a. $\dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,87$.
    D’après le graphique, la diode devient non passant pour la première fois au bout de $0,05$ seconde.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} u(0,005)&=\sqrt{3}\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{3}\right) \\
    &=\sqrt{3}\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)\\
    &=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{align*}$
    C’est bien à partir de $0,05$ seconde que la diode devient non passante.
    $\quad$

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$\quad$

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