E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Un médicament contre la douleur est administré par voie orale. La concentration du produit actif dans le sang, en milligramme par litre de sang, est modélisé par la fonction $f$ qui, au temps écoulé $x$ en heure, $x$ étant compris entre $0$ et $6$, associe : $$f(x)=x^3-12x^2+36x \text{  où }x\in [0;6]$$
Le produit actif est efficace si sa concentration dans le sang est supérieure ou égale à $5$ mg/L.

  1. En exécutant le script Python ci-dessous, on obtient la liste $[0, 1, 1, 1, 1, 1, 0]$.
    $$\begin{array}{ll}\\
    1&\text{liste=}[\textcolor{Green}{0},\textcolor{Green}{0},\textcolor{Green}{0},\textcolor{Green}{0},\textcolor{Green}{0},\textcolor{Green}{0},\textcolor{Green}{0}]\\
    2&\textcolor{blue}{\text{for }}\text{x }\textcolor{blue}{\text{in range }}(\textcolor{Green}{0},\textcolor{Green}{7}):\\
    3&\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{if }}\text{x**}\textcolor{Green}{3}-\textcolor{Green}{12}*x**\textcolor{Green}{2}+\textcolor{Green}{36}*x>=\textcolor{Green}{5}:\\
    4&\hspace{1cm}\text{liste[x]=}\textcolor{Green}{1}\\
    5&\textcolor{blue}{\text{print}}\text{(liste)}\end{array}$$À l’aide de ce résultat, indiquer l’intervalle de temps en unité d’heures sur lequel le médicament est efficace.
    $\quad$
  2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0 ; 6]$, calculer sa fonction dérivée.
    $\quad$
  3. Justifier que la tangente $T$ à la courbe représentative de la fonction $f$ au point $A$ d’abscisse $4$ admet pour équation réduite $y=-12x+64$.
    $\quad$
  4. Démontrer que $f(x)-(-12x+64) = (x-4)^3$.
    $\quad$
  5. En déduire la position relative de la courbe représentative de la fonction $f$ par rapport à la tangente $T$ au point $A$.
    $\quad$

$\quad$


$\quad$

Correction Exercice

  1. Le médicament est efficace sur l’intervalle $[1;5]$
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;6]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=3x^2-12\times 2x+36\\
    &=3x^2-24x+36\end{align*}$
    $\quad$
  3. Une équation de $T$ est de la forme $y=f'(4)(x-4)+f(4)$
    Or $f(4)=16$ et $f'(4)=-12$.
    Une équation de $T$ est donc $y=-12(x-4)+16$ soit $y=-12x+64$.
    $\quad$
  4. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;6]$,
    D’une part on a :
    $\begin{align*} f(x)-(-12x+64)&=x^3-12x^2+36x+12x-64\\
    &=x^3-12x^2+48x-64\end{align*}$
    D’autre part on a :
    $\begin{align*} (x-4)^3&=(x-4)^2(x-4) \\
    &=\left(x^2-8x+16\right)(x-4) \\
    &=x^3-4x^2-8x^2+32x+16x-64\\
    &=x^3-12x^2+48x-64\end{align*}$
    Par conséquent $f(x)-(-12x+64)=(x-4)^3$.
    $\quad$
  5. Pour tout réel $x$ on a $f(x)-(-12x+64)=(x-4)^3$
    Donc $f(x)-(-12x+64)$ est du signe de $x-4$.
    Or $x-4>0 \ssi x>4$ et $x-4=0 \ssi x=4$.
    Donc :
    – Sur $]-\infty;4]$, la droite $T$ est au-dessus de la courbe représentative de la fonction $f$.
    – Sur $[4;+\infty[$, la droite $T$ est au-dessous de la courbe représentative de la fonction $f$.
    $\quad$

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$\quad$

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