E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Soit la fonction $p$ définie sur $\R$ par $p(x)=-x^3+3x^2+9x+5$.

Partie A :

  1. Quelle est l’image de $5$ par $p$ ?
    $\quad$
  2. Montrer que pour tout réel $x$, $p(x)=(5-x)\left(x^2+2x+1\right)$.
    $\quad$
  3. En déduire le signe de $p(x)$ sur $\R$.
    $\quad$

Partie B :

  1. Déterminer la fonction dérivée de la fonction $p$.
    $\quad$
  2. Démontrer que la fonction $p$ admet un maximum sur l’intervalle $[0,5]$ dont on précisera la valeur.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Partie A

  1. On a :
    $\begin{align*} p(5)&=-5^3+3\times 5^2+9\times 5+5 \\
    &=0\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} &(5-x)\left(x^2+2x+1\right) \\
    =~& 5x^2+10x+5-x^3-2x^2-x\\
    =~& -x^3+3x^2+9x+5\\
    =~& p(x)\end{align*}$
    $\quad$
  3. Par conséquent $p(x)=(5-x)(x+1)^2$
    Un carré est toujours positif.
    Ainsi $p(x)$ est du signe de $5-x$
    Or $5-x>0 \ssi x<5$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $p(x)=0 \ssi 5-x=0$ ou $x+1=0$
    Ainsi $p(x)=0 \ssi x=5$ ou $x=-1$.
    Pour résumé :
    – $p(x)<0$ si $x\in[5;+\infty[$
    – $p(-1)=p(5)=0$
    – p(x)>0$ si $x\in]-\infty;-1[\cup]-1;5[$
    $\quad$

Partie B

  1. La fonction $p$ est dérivable sur $\R$ en tant que polynôme.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} p'(x)&=-3x^2+3\times 2x+9 \\
    &=-3x^2+6x+9\end{align*}$
    $\quad$
  2. On étudie le signe de $p'(x)$.
    Son discriminant est :
    $\begin{align*} \Delta &=6^2-4\times (-3)\times 9\\
    &=144\end{align*}$
    Les deux racines réelles sont :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-6-\sqrt{144}}{-6}\\
    &=3\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-6+\sqrt{144}}{-6}\\
    &=-1\end{align*}$
    Le coefficient principal est $a=-3<0$.
    Par conséquent : $p'(x)>0$ sur $[0;3[$ et $p'(x)<0$ sur $]3;5]$.
    La fonction $p$ admet donc un maximum atteint pour $x=3$ et sa valeur est $p(3)=32$.
    $\quad$

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$\quad$

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