Partie A

1. On a :
   $\begin{align*} p(5)&=-5^3+3\times 5^2+9\times 5+5 \\
   &=0\end{align*}$
   $\quad$
2. Pour tout réel $x$ on a :
   $\begin{align*} &(5-x)\left(x^2+2x+1\right) \\
   =~& 5x^2+10x+5-x^3-2x^2-x\\
   =~& -x^3+3x^2+9x+5\\
   =~& p(x)\end{align*}$
   $\quad$
3. Par conséquent $p(x)=(5-x)(x+1)^2$
   Un carré est toujours positif.
   Ainsi $p(x)$ est du signe de $5-x$
   Or $5-x>0 \ssi x<5$
   Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
   Donc $p(x)=0 \ssi 5-x=0$ ou $x+1=0$
   Ainsi $p(x)=0 \ssi x=5$ ou $x=-1$.
   Pour résumé :
   – $p(x)<0$ si $x\in[5;+\infty[$
   – $p(-1)=p(5)=0$
   – $p(x)>0$ si $x\in]-\infty;-1[\cup]-1;5[$
   $\quad$

Partie B

1. La fonction $p$ est dérivable sur $\R$ en tant que polynôme.
   Pour tout réel $x$ on a :
   $\begin{align*} p'(x)&=-3x^2+3\times 2x+9 \\
   &=-3x^2+6x+9\end{align*}$
   $\quad$
2. On étudie le signe de $p'(x)$.
   Son discriminant est :
   $\begin{align*} \Delta &=6^2-4\times (-3)\times 9\\
   &=144\end{align*}$
   Les deux racines réelles sont :
   $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-6-\sqrt{144}}{-6}\\
   &=3\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-6+\sqrt{144}}{-6}\\
   &=-1\end{align*}$
   Le coefficient principal est $a=-3<0$.
   Par conséquent : $p'(x)>0$ sur $[0;3[$ et $p'(x)<0$ sur $]3;5]$.
   La fonction $p$ admet donc un maximum atteint pour $x=3$ et sa valeur est $p(3)=32$.
   $\quad$