E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Soit $f$ la fonction définie sur l’ensemble $\R$ des nombre réels par $f(x)=3x^3-5x^2+2$.
On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

  1. On admet que $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    Donner l’expression de $f'(x)$, pour tout nombre réel $x$.
    $\quad$
  2. On note $T$ la tangente à $C_f$ au point d’abscisse $-1$.
    Donner l’équation réduite de la tangente $T$.
    $\quad$
  3. Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=3x^3-4x+1$.
    On note $C_g$ sa courbe représentative dans le même repère que la courbe $C_f$.
    a. Montrer que pour tout nombre réel $x$,$f(x)-g(x)=-5x^2+4x+1$.
    $\quad$
    b. Étudier sur $\R$ le signe de $f(x)-g(x)$.
    $\quad$
    c. En déduire pour quelles valeurs de $x$ la courbe $C_f$ est au-dessus de la courbe $C_g$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin {align*} f'(x)&=3\times 3x^2-5\times 2x\\
    &=9x^2-10x\end{align*}$
    $\quad$
  2. Une équation de $T$ est de la forme $y=f'(-1)\left(x-(-1)\right)+f(-1)$
    Or $f(-1)=-6$ et $f'(-1)=19$
    Une équation de $T$ est donc $y=19(x+1)-6$ soit $y=19x+13$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f(x)-g(x)&=3x^3-5x^2+2-\left(3x^3-4x+1\right) \\
    &=3x^3-5x^2+2-3x^3+4x-1\\
    &=-5x^2+4x+1\end{align*}$
    $\quad$
    b. $-5x^2+4x+1$ est un polynôme du second degré.
    Son discriminant est :
    $\begin{align*} \Delta&=4^2-4\times (-5)\times 1\\
    &=36\\
    &>0\end{align*}$
    Ses deux racines réelles sont :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-4-\sqrt{36}}{-10}\\
    &=1\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-4+\sqrt{36}}{-10}\\
    &=-\dfrac{1}{5}\end{align*}$
    Le coefficient principal est $a=-5<0$.
    Par conséquent :
    – $f(x)-g(x)>0$ sur $\left]-\dfrac{1}{5};1\right[$
    – $f(x)-g(x)<0$ sur $\left]-\infty;-\dfrac{1}{5}\right[\cup]1;+\infty[$
    – $f(x)-g(x)=0$ si $x\in \left\{-\dfrac{1}{5};1\right\}$
    $\quad$
    c. Par conséquent $C_G$ est au-dessus de $C_f$ sur $\left]-\infty;-\dfrac{1}{5}\right[\cup]1;+\infty[$ et au-dessous sur $\left]-\dfrac{1}{5};1\right[$. Les abscisses des points d’intersection des deux courbes sont $-\dfrac{1}{2}$ et $1$.
    $\quad$

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$\quad$

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