E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Des pucerons envahissent une roseraie.
On introduit alors des coccinelles, prédatrices des pucerons, à l’instant $t=0$, et on s’intéresse à l’évolution du nombre de pucerons à partir de cet instant et sur une période de $20$ jours.

Partie A :

Dans le repère ci-dessous, on a tracé :

  • La courbe $\mathcal{C}$ représentant le nombre de milliers de pucerons en fonction du nombre de jours écoulés depuis l’introduction des coccinelles.
  • La tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $0$ passe par les points $A(0 ; 2,1)$ et $B(2 ; 4,3)$.

  1. Déterminer par lecture graphique le nombre de pucerons à l’instant où l’on introduit les coccinelles puis le nombre maximal de pucerons sur la période de $20$ jours.
    $\quad$
  2. On assimile la vitesse de prolifération des pucerons à l’instant $t$ au nombre dérivé $f'(t)$.
    Déterminer graphiquement la vitesse de prolifération des pucerons à l’instant $t=0$.
    $\quad$

Partie B :

On modélise l’évolution du nombre de pucerons par la fonction $f$ définie, pour tout $t$ appartenant à l’intervalle $[0 ; 20]$, par : $$f(t)=0,003t^3-0,12t^2+1,1t+2,1$$
où $t$ représente le nombre de jours écoulés depuis l’introduction des coccinelles et $f(t)$ le nombre de pucerons en milliers.

  1. Déterminer $f'(t)$ pour tout $t$ appartenant à l’intervalle $[0 ; 20]$ où $f’$ désigne la dérivée de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Dresser le tableau de signes de $f'(t)$ sur l’intervalle $[0 ; 20]$.
    $\quad$
  3. En déduire le tableau des variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; 20]$. Préciser les images des valeurs de $t$ apparaissant dans le tableau.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Partie A

  1. À l’instant où l’on introduit les coccinelles il y a environ $2~200$ pucerons.
    Au maximum, il y avait environ $5~000$ pucerons sur cette période de $20$ jours.
    $\quad$
  2. $f'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente $T$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} f'(0)&=\dfrac{2,1-4,3}{0-2} \\
    &=1,1\end{align*}$
    La vitesse de prolifération des pucerons à l’instant $t=0$ était de $1~100$ pucerons par jour.
    $\quad$

Partie B

  1. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;20]$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;20]$ on a :
    $\begin{align*} f'(t)&=0,003 \times 3t^2-0,12\times 2t+1,1 \\
    &=0,009t^2-0,24t+1,1\end{align*}$
    $\quad$
  2. $f'(t)$ est un polynôme du second degré.
    Son discriminant est :
    $\begin{align*} \Delta&=(-0,24)^2-4\times 0,009\times 1,1\\
    &=0,018\\
    &>0\end{align*}$
    Ses racines sont :
    $\begin{align*} t_1&=\dfrac{0,24-\sqrt{0,018}}{0,018}\\
    &=\dfrac{40-10\sqrt{5}}{3}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} t_2&=\dfrac{0,24+\sqrt{0,018}}{0,018}\\
    &=\dfrac{40+10\sqrt{5}}{3}\end{align*}$
    On a $t_1\in[0;20]$ et $t_2\notin [0;20]$
    Le coefficient principal est $a=0,009>0$.
    On obtient le tableau de signes et de variations suivant :

    avec $f\left(t_1\right) \approx 5,03$
    $\quad$
  3. voir tableau précédent$\quad$

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$\quad$

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