E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Un artisan fabrique de la confiture qu’il vend à un grossiste. Le coût, en euros, de fabrication de $x$ kilos de confiture est :
$\hspace{3cm}C(x)=0,1x^2+0,7x+100$, pour $x\in [0; 160]$.

  1. Chaque kilo est vendu $14$ €. Exprimer la recette $R$ en fonction de $x$.
    $\quad$
  2. Soit $B$ la fonction représentant le bénéfice de l’artisan, définie sur $[0; 160]$.
    $B$ a pour expression $B(x)=-0,1x^2+13,3x-100$.
    Étudier le signe de $B(x)$. En déduire l’intervalle dans lequel doit se trouver le nombre de kilos de confiture à vendre pour que l’artisan réalise un bénéfice positif.
    $\quad$
  3. On note $B’$ la fonction dérivée de la fonction $B$.
    a. Déterminer $B'(x)$.
    $\quad$
    b. Dresser le tableau de variation de $B$ sur l’intervalle $[0; 160]$.
    $\quad$
    c. Donner le nombre de kilos à vendre pour que le bénéfice soit maximal ainsi que son montant.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Pour tout réel $x$ appartenant à $[0;160]$ on a $R(x)=14x$.
    $\quad$
  2. $B(x)$ est un polynôme du second degré.
    Son discriminant est :
    $\begin{align*} \Delta&=13,3^2-4\times (-0,1)\times (-100)\\
    &=136,89\\
    &>0\end{align*}$
    Ses deux racines réelles sont :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-13,3-\sqrt{136,89}}{-0,2}\\
    &=125\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-13,3+\sqrt{136,89}}{-0,2}\\
    &=8\end{align*}$
    Le coefficient principal est $a=-0,1<0$.
    Ainsi le bénéfice est positif si l’artisan vend entre $8$ et $120$ kilogrammes de confiture.
    $\quad$
  3. a. La fonction $B$ est dérivable sur l’intervalle $[0;160]$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x \in[0;160]$ on a $B'(x)=-0,2x+13,3$.
    $\quad$
    b. $-0,2x+13,3=0 \ssi -0,2x=-13,3\ssi x=66,5$
    $-0,2x+13,3>0 \ssi -0,2x>-13,3 \ssi x<66,5$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
    c. D’après le tableau de variations, le bénéfice est maximal quand l’artisan vend $65,5$ kilogrammes de confiture. Ce bénéfice est alors égale à $342,125$ €.
    $\quad$

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$\quad$

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