E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Une entreprise fabrique chaque jour 𝑥tonnes d’un produit. Le coût total mensuel, en milliers d’euros, pour produire chaque jour $x$ tonnes de ce produit est modélisé par la fonction $C$ définie sur l’intervalle $[0;10]$ par : $$C(x)=(5x-2)\e^{-0,2x}+2$$
On a représenté ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_C$ de la fonction $C$ dans un repère.

  1. Par lecture graphique, donner une estimation de la quantité journalière de produit pour laquelle le coût total mensuel est maximal.
    $\quad$
  2. Le coût marginal $C_m$, qui correspond au supplément de coût total pour la production d’une unité de valeur supplémentaire, est assimilé à la dérivée de la fonction coût total.
    a. Démontrer que le coût marginal $C_m$ est défini sur l’intervalle $[0;10]$ par : $$C_m(x)=(-x+5,4)\e^{-0,2x}$$
    $\quad$
    b. Pour quelle quantité de produit fabriqué par jour le coût marginal est-il négatif ?
    $\quad$
    c. Donner le tableau de variations de la fonction $C$ sur l’intervalle $[0;10]$.
    $\quad$
    d. Déterminer le coût total mensuel maximal sur l’intervalle considéré. On donnera la valeur arrondie à l’euro près.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Graphiquement le le coût total mensuel est maximal quand l’entreprise fabrique environ $5,5$ tonnes du produit.
    $\quad$
  2. a. La fonction $C$ est dérivable sur $[0;10]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ appartenant à $[0;10]$ on a :
    $\begin{align*} C_m(x)&=C'(x) \\
    &=5\e^{-0,2x}+(5x-2)\times \left(-0,2\e^{-0,2x}\right) \\
    &=(5-0,2\times 5x+2\times 0,2)\e^{-0,2x}\\
    &=(-x+5,4)\e^{-0,2x}\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $C_m(x)$ ne dépend donc que de celui de $-x+5,4$.
    $-x+5,4=0 \ssi x=5,4$
    $-x+5,4<0 \ssi x>5,4$
    Le coût marginal est négatif quand l’entreprise fabrique entre $5,4$ et $10$ tonnes de produit.
    $\quad$
    c. On obtient le tableau de variations suivant :

    Avec $C(5,4)=25\e^{-1,08}+2\approx 10,490$
    $C(10)=48\e^{-2}+2\approx 8,496$
    $\quad$
    d. Le coût total mensuel maximal est atteint quand l’entreprise fabrique $5,4$ tonnes de produit et vaut environ $10~490$ euros.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence