E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ par $f(x)=ax+b)\e^{-0,1x}$ où $a$ et $b$ sont des réels fixés.
La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessous, dans un repère orthogonal.

On a également représenté la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point $A(0 ; 5)$.
On admet que cette tangente $T$ passe par le point $B(4 ; 19)$.

  1. En exprimant $f(0)$, déterminer la valeur de $b$.
    $\quad$
  2. a. À l’aide des coordonnées des points $A$ et $B$, déterminer une équation de la droite $T$.
    $\quad$
    b. Exprimer, pour tout réel $x$, $f'(x)$ en fonction de $x$ et de $a$ et en déduire que pour tout réel $x$, $f(x)=(4x+5)\e^{-0,1x}$
    $\quad$
  3. On souhaite déterminer le maximum de la fonction $f$ sur $\R$.
    a. Montrer que pour tout $x\in\R$, $f'(x)=(-0,4x+3,5)\e^{-0,1x}$.
    $\quad$
    b. Déterminer les variations de $f$ sur $\R$ et en déduire le maximum de $f$ sur $\R$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*}f(0)=b\e^0 \\
    &=b\end{align*}$
    Le point $A(0;5$ appartient à $\mathcal{C}_f$.
    Donc $f(0)=5$. Par conséquent $b=5$.
    $\quad$
  2. a. Les points $A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse. Une équation de de la droite $T$ est donc de la forme $y=mx+p$.
    On a :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{19-5}{4-0}\\
    &=3,5\end{align*}$
    Elle passe par le point $A(0;5)$ donc $p=5$.
    Une équation de $T$ est donc $y=3,5x+5$.
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=a\e^{-0,1x}+(ax+b)\times \left(-0,1\e^{-0,1x}\right) \\
    &=(a-0,1ax-0,1b)\e^{-0,1x}\end{align*}$
    $f'(0)$ est le coefficient directeur de $T$ donc $f'(0)=3,5$.
    Mais $f'(0)=a-0,1b$.
    D’après la question 1. on a $b=5$.
    Par conséquent $a-0,5=3,5 \ssi a=4$.
    On en déduit donc que, pour tout réel $x$ on a $f(x)=(4x+5)\e^{-0,1x}$.
    $\quad$
  3. a. D’après la question 2.b. on a donc :
    $\begin{align*} f'(x)&=(a-0,1ax-0,1b)\e^{-0,1x} \\
    &=(4-0,4x-0,5)\e^{-0,1x} \\
    &=(3,5-0,4x)\e^{-0,1x}\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $3,5-0,4x$.
    $3,5-0,4x=0 \ssi -0,4x=-3,5 \ssi x=8,75$
    $3,5-0,4x>0\ssi -0,4x>-3,5 \ssi x<8,75$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]-\infty;8,75]$ et strictement décroissante sur $[8,75;+\infty[$.
    Elle admet un maximum qui est $f(8,75)=40\e^{-0,875}$.
    $\quad$

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$\quad$

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