Fonctions

E3C2 – 1ère

Dans cet exercice, les distances sont exprimées en mètres.
On considère un rectangle $ABCD$ d’aire $49$ m$^2$ tel que $DC=x$ et $BC=y$.
On admet que les nombres $x$ et $y$ sont strictement positifs.

On souhaite déterminer les dimensions $x$ et $y$ pour que le périmètre de ce rectangle soit minimal.

a. Montrer que le périmètre, en mètres, du rectangle $ABCD$ est égal à $2x+\dfrac{98}{x}$.
$\quad$
b. Calculer ce périmètre pour $x = 10$.

Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x)=2x+\dfrac{98}{x}$.
On admet que $x$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.

Montrer que, pour tout $x>0$, $$f'(x)=\dfrac{2x^2-98}{x^2}$$
$\quad$
Déterminer le tableau de variations de la fonction $f$ sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
En déduire les dimensions du rectangle d’aire $49$ m² dont le périmètre est minimal.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. L’aire du rectangle est égale d’une part à $xy$ et d’autre part à $49$ m$^2$.
Par conséquent $xy=49 \ssi y=\dfrac{49}{x}$.
Le périmètre du rectangle est :
$\begin{align*} P&=2(x+y)\\
&=2x+2y\\
&=2x+\dfrac{98}{x}\end{align*}$.
$\quad$
b. Si $x=10$ alors le périmètre vaut $2\times 10+\dfrac{98}{10}=29,8$ m.
$\quad$
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=2-\dfrac{98}{x^2} \\
&=\dfrac{2x^2-98}{x^2}\end{align*}$
$\quad$
$x^2>0$ sur $]0;+\infty[$.
Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $2x^2-98$.
Or :
$\begin{align*} 2x^2-98&=2\left(x^2-49\right)\\
&=2(x-7)(x+7)\end{align*}$
Sur $]0;+\infty[$ on a $2(x+7)>0$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x-7$.
$x-7=0 \ssi x=7$ et $x-7>0 \ssi x>7$
On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

$\quad$
Le périmètre du rectangle d’aire $49$ m$^2$ est minimal quand $x=7$. Il s’agit alors d’un carré de côté $7$ m.
$\quad$

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$\quad$

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