E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Une note de musique est émise en pinçant la corde d’une guitare électrique. La puissance du son émis, initialement de $120$ watts, diminue en fonction du temps écoulé après pincement de la corde.
Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $t\pg 0$ par : $f(t)=120\e^{-0,14t}$.
On admet que $f(t)$ modélise la puissance du son, exprimée en watt, à l’instant $t$ où $t$ est le temps écoulé, exprimée en seconde, après pincement de la corde.

On désigne par $f’$ la fonction dérivée de $f$.

  1. Calculer $f'(t)$.
    $\quad$
  2. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[0 ; +\infty[$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  3. Quelle sera la puissance du son, trois secondes après avoir pincé la corde ? Arrondir au dixième.
    $\quad$
  4. On considère la fonction seuil ci-dessous :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def seuil():}\\
    \hspace{1cm}\text{t=0}\\
    \hspace{1cm}\text{puissance=120}\\
    \hspace{1cm}\text{while puissance>=60:}\\
    \hspace{2cm}\text{t=t+0.1}\\
    \hspace{2cm}\text{puissance=120*exp(-0.14*t)}\\
    \hspace{1cm}\text{return t}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Que renvoie cette fonction $\text{seuil()}$?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $f(t)$ est du type $k\e^{at+b}$ pour tout réel $t$.
    La fonction $f$ est donc dérivable sur $[0;+\infty[$.
    Pour tout $t\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} f'(t)&=120\times (-0,14)\e^{-0,14t}\\
    &=-16,8\e^{-0,14t}\end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Par conséquent, pour tout $t\pg 0$ on a $f'(t)<0$.
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

    Cela signifie donc que la puissance du son diminue avec le temps.
    $\quad$
  3. Trois secondes après avoir pincé la corde
    $\begin{align*}f(3)&=120\e^{-0,14\times 3}\\
    &=120\e^{-0,42}\\
    &\approx 78,8\end{align*}$
    La puissance du son sera d’environ $78,8$ watts .
    $\quad$
  4. Cette fonction renvoie le temps nécessaire en seconde pour que la puissance du son soit strictement inférieure à $60$ watts.
    Or $f(4.9) \approx 60,43$  et $f(5)\approx 59,59$.
    La fonction renvoie donc la valeur $5$.
    $\quad$
    Remarque : L’énoncé original de cette fonction était :$$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def seuil():}\\
    \hspace{1cm}\text{t=0}\\
    \hspace{1cm}\text{puissance=120}\\
    \hspace{1cm}\text{while puissance<=60:}\\
    \hspace{2cm}\text{t=t+0.1}\\
    \hspace{2cm}\text{puissance=120*exp(-0.14*t)}\\
    \hspace{1cm}\text{return t}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Cette fonction renvoie $0$ puisqu’on ne rentre jamais dans la boucle while.
    Cette fonction ne nécessite de plus au moins l’importation, en amont, de la fonction exp de la bibliothèque math de Python pour fonctionner.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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