E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Soit la fonction $f$ définie sur $[0;3]$ par $f(x)=4x\e^{-x}$.

  1. On a tracé ci-dessous la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé d’origine $0$.

    Conjecturer une valeur approchée du maximum de $f$ sur $[0 ; 3]$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $[0 ; 3]$.
    Montrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0; 3]$,  $f'(x)=4(1-x)\e^{-x}$.
    $\quad$
  3. En déduire le tableau de signes de $f'(x)$ sur $[0 ; 3]$.
    $\quad$
  4. En déduire le tableau des variations de $f$ sur $[0 ; 3]$ puis la valeur exacte du maximum de $f$ sur $[0 ; 3]$.
    $\quad$
  5. Soit $A$ le point d’abscisse $1$ de $C_f$ et soit $t$ la tangente à $C_f$ au point d’abscisse $0,5$.
    Qui, de la droite $(AO)$ ou de la droite $t$, a le plus grand coefficient directeur ? Justifier.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Il semblerait, graphiquement, que le maximum de $f$ soit environ égal à $1,45$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;3]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=4\e^{-x}+4x\times (-x)\e^{-x}\\
    &=(4-4x)\e^{-x} \\
    &=4(1-x)\e^{-x}\end{align*}$
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-x$.
    $1-x=0 \ssi x=1$ et $1-x>0 \ssi x<1$
    On obtient donc le tableau de signes et de variations suivant :

    $\quad$
  4. Voir tableau précédent
    Le maximum est $4\e^{-1}$.
    $\quad$
  5. Le coefficient directeur de la $(AO)$ est :
    $\begin{align*} a&=\dfrac{4\e^{-1}-0}{1-0}\\
    &=4\e^{-1}\\
    &\approx 1,47\end{align*}$
    Le coefficient directeur de $t$ est :
    $\begin{align*} f'(0,5)&=2\e^{-0,5}\\
    &\approx 1,21\end{align*}$
    La droite $(AO)$ a donc le plus grand coefficient directeur.
    $\quad$

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$\quad$

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