Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par $$f(x)=x^3-x^2-x-1$$

On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.
a. Montrer que, pour tout réel $x$, $f'(x)=3\left(x+\dfrac{1}{3}\right)(x-1)$.
$\quad$
b. En déduire le tableau de variation de $f$ sur $[0 ; +\infty[$.
$\quad$
c. Déterminer l’abscisse du point de la courbe représentative de $f$ pour lequel le coefficient directeur de la tangente vaut $7$.
$\quad$
On note $x_0$ l’unique solution de l’équation $f(x)=0$. On admet que $x_0 \in [1 ; 2]$.
On considère la fonction suivante définie en langage Python.
$$\begin{array}{|ll|}
\hline
1&\textcolor{blue}{\text{def }}\text{zero_de_f(n):}\\
2&\hspace{0.5cm}\text{a=}\textcolor{Green}{1}\\
3&\hspace{0.5cm}\text{b=}\textcolor{Green}{2}\\
4&\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{for }}\text{k }\textcolor{blue}{\text{in range}}\text{(n):}\\
5&\hspace{1cm}\text{x=(a+b)/}\textcolor{Green}{2}\\
6&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{if }}\text{x**}\textcolor{Green}{3}\text{-x**}\textcolor{Green}{2}\text{-x}\textcolor{Green}{-1}\text{<}\textcolor{Green}{0}\text{:}\\
7&\hspace{1.5cm}\text{a=x}\\
8&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{else}}\text{:}\\
9&\hspace{1.5cm}\text{b=x}\\
10&\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return } }\text{a,b}\\
\hline
\end{array}$$
a. On applique cette fonction pour $n=3$. Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant, jusqu’à l’arrêt de l’algorithme.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Itération}&\boldsymbol{x=\dfrac{a+b}{2}}&\boldsymbol{f(x)<0}\textbf{?}&\boldsymbol{a}&\boldsymbol{b}&\textbf{Amplitude de }\boldsymbol{[a;b]}\\
\hline
k=0&1,5&OUI&1,5&2&0,5\\
\hline
k=1&&&&&\\
\hline
k=2&&&&&\\
\hline\end{array}$$
b. En déduire un encadrement de $x_0$, d’amplitude $0,125$, par deux nombres décimaux.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;+\infty[$ on a $f'(x)=3x^2-2x-1$
De plus
$\begin{align*} 3\left(x+\dfrac{1}{3}\right)(x-1)&=(3x+1)(x-1) \\
&=3x^2-3x+x-1\\
&=3x^2-2x-1\\
&=f(x)\end{align*}$
$\quad$
b. Sur l’intervalle $[0;+\infty[$ on a $3\left(x+\dfrac{1}{3}\right)>0$.
Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x-1$.
$x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0\ssi x>1$
On obtient donc le tableau de signes suivant :

$\quad$
c. On veut donc résoudre l’équation
$\begin{align*} f'(x)=7&\ssi 3x^2-2x-1=7\\
&\ssi 3x^2-2x-8=0\end{align*}$
Le discriminant est :
$\begin{align*} \Delta&=(-2)^2-4\times 3\times (-8)\\
&=100\end{align*}$
Les deux racines réelles sont :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{2-\sqrt{100}}{6} \\
&=-\dfrac{4}{3}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{2+\sqrt{100}}{6} \\
&=2\end{align*}$
Or $-\dfrac{4}{3}<0$.
Par conséquent le point de la courbe représentative de $f$ pour lequel le coefficient directeur de la tangente vaut $7$ a pour abscisse $2$.
$\quad$
a. On obtient le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{Itération}&\boldsymbol{x=\dfrac{a+b}{2}}&\boldsymbol{f(x)<0}\textbf{?}&\boldsymbol{a}&\boldsymbol{b}&\textbf{Amplitude de }\boldsymbol{[a;b]}\\
\hline
k=0&1,5&OUI&1,5&2&0,5\\
\hline
k=1&1,75&OUI&1,75&2&0,25\\
\hline
k=2&1,875&NON&1,75&1,875&0,125\\
\hline\end{array}$$
$\quad$
b. On a donc $f(1,75)<0$ et $f(1,875)>0$.
Un encadrement de $x_0$ d’amplitude $0,125$ est donc $1,750<x_0<1,875$.
$\quad$
Remarque : Il s’agit de l’algorithme de dichotomie.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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