Fonctions

E3C2 – 1ère

Un fermier souhaite réaliser un enclos rectangulaire pour des poules et des poussins, adossé à un mur de sa ferme afin d’économiser du grillage. Ainsi, il ne grillagera que $3$ côtés de son enclos.
Il possède $28$ mètres de grillage. Il souhaite construire un enclos d’aire maximale.
On appelle $x$ la longueur du côté de l’enclos perpendiculaire au mur.

On appelle $A$ la fonction qui à un nombre $x$ associe $A(x)$ l’aire de l’enclos. La fonction $A$ est ainsi définie sur l’intervalle $[0 ; 14]$.

a. Vérifier que l’aire $A(x)=-2x^2+28x$.
$\quad$
b. Montrer que la forme canonique de $A(x)$ est $-2(x-7)^2+98$.
$\quad$
Quatre courbes ont été tracées sur le graphique ci-dessous. Identifier celle qui représente la fonction $A$

$\quad$
Dresser le tableau de variation de la fonction $A$.
$\quad$
Pour quelle valeur de $x$ l’aire de l’enclos est-elle maximale ? Donner la valeur de cette aire.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. L’enclos est un rectangle dont les côtés mesurent $x$ mètres et $28-2x$ mètres.
Ainsi :
$\begin{align*}A(x)&=(28-2x)x\\
&=28x-2x^2\end{align*}$
$\quad$
b. Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} -2(x-7)^2+98&=-2\left(x^2-14x+49\right)+98\\
&=-2x^2+28x-98+98\\
&=-2x^2+28x\\
&=A(x)\end{align*}$
La forme canonique de $A(x)$ est donc $-2(x-7)^2+98$.
$\quad$
Le coefficient principal de $A(x)$ est $a=-2<0$. La fonction est donc d’abord croissante puis décroissante.
Le maximum est $S(7;98)$.
La courbe $\mathcal{C}_2$ représente donc la fonction $A$.
$\quad$
On obtient donc le tableau de variations suivant :

$\quad$
L’aire est donc maximale quand $x$ prend la valeur $7$ et vaut $98$ m$^2$.
$\quad$

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$\quad$

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