E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^3+3x^2+3x-63$.
On appelle $\boldsymbol{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

  1. Déterminer $f'(x)$.
    $\quad$
  2. Etudier le signe de $f'(x)$ sur $\R$.
    $\quad$
  3. Établir le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  4. Justifier que la tangente à la courbe $\boldsymbol{C}$ au point d’abscisse $-1$ est la droite $\boldsymbol{D}$ d’équation $y=-64$.
    $\quad$
  5. Déterminer en quels points de la courbe $\boldsymbol{C}$ la tangente à la courbe est parallèle à la droite d’équation $y=3x-100$
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. La fonction $f$ est dérivables sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=3x^2+3\times 2x+3\\
    &=3x^2+6x+3\end{align*}$
    $\quad$
  2. $f'(x)=3x^2+6x+3$ est un polynôme du second degré.
    On peut calculer son discriminant.
    Mais on peut aussi remarquer que :
    $\begin{align*} f'(x)&=3\left(x^2+2x+1\right)\\
    &=3(x+1)^2\end{align*}$
    Par conséquent $f'(x)\pg 0$ sur $\R$ et $f'(x)=0 \ssi x=-1$
    $\quad$
  3. On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  4. Une équation de la droite $\boldsymbol{D}$ est de la forme $y=f'(-1)\left(x-(-1)\right)+f(1)$
    Or $f'(-1)=0$ et $f(1)=-64$.
    Ainsi une équation de $\boldsymbol{D}$ est $y=-64$.
    $\quad$
  5. Le coefficient directeur de la droite d’équation $y=3x-100$ est $3$.
    On veut donc résoudre l’équation :
    $\begin{align*} f'(x)=3&\ssi 3(x+1)^2=3 \\
    &\ssi (x+1)^2=1\\
    &\ssi x+1=1 \text{  ou  } x+1=-1\\
    &\ssi x=0\text{  ou } x=-2\end{align*}$
    Seules les tangentes à la courbe $\boldsymbol{C}$ au point d’abscisse $0$ et $-2$ sont donc parallèles à la droite d’équation $y=3x-100$.
    $\quad$
    Remarque : On pouvait également résoudre une équation du second degré en utilisant le discriminant.
    $\quad$

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$\quad$

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