E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Une entreprise vend des smartphones d’un seul modèle « haut de gamme ».
Le service marketing modélise le nombre de smartphones modèle « haut de gamme » vendus par trimestre en fonction du prix de vente $x$ par la fonction $N$ définie par $N(x)=100\e^{-2x}$ où :

  • $x$ est le prix de vente en milliers d’euros d’un smartphone modèle « haut de gamme ». Le prix du smartphone modèle « haut de gamme » est compris entre $400$€ et $2~000$€ ; on a donc $x\in [0,4 ; 2]$.
  • $N(x)$ est le nombre de smartphones modèle « haut de gamme » vendus trimestriellement en millions d’unités.
  1. Si le service commercial fixe le prix de vente de ce smartphone modèle « haut de gamme » à $1~000$ €, quel sera le nombre de smartphones vendus trimestriellement ?
    On arrondira le résultat à mille unités.
    $\quad$

La recette trimestrielle $R(x)$ est obtenue en multipliant le nombre de smartphones modèle « haut de gamme » vendus par le prix de vente. On obtient $R(x) = x \times N(x)$ en milliards d’euros.
Le coût de production en milliards d’euros en fonction du nombre de smartphones modèle « haut de gamme » fabriqués est modélisé par la fonction $C$ définie par $C(x)= 0,4 \times N(x)$ où $x$ est le prix de vente en milliers d’euros.
Le bénéfice est obtenu en calculant la différence entre la recette et le coût de production.

  1. Vérifier que le bénéfice trimestriel peut être estimé à 8,120 milliards d’euros pour un prix de vente $1~000$ €.
    $\quad$
  2. Montrer que le bénéfice trimestriel s’exprime en milliards d’euros en fonction du prix de vente $x$ en milliers d’euros par : $B(x)=(100x-40)\e^{-2x}$.
    $\quad$
  3. On admet que pour tout réel $x\in [0,4 ; 2]$, $B'(x)=(180-200x)\e^{-2x}$.
    Étudier les variations de la fonction $B$ sur l’intervalle $[0,4 ; 2]$.
    $\quad$
  4. À quel prix faut-il vendre ces smartphones pour assurer un bénéfice maximal ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a $N(1)=100\e^{-2} \approx 13,534$
    Si le service commercial fixe le prix de vente de ce smartphone modèle « haut de gamme » à $1~000$ €, l’entreprise vendra environ $13,534$ millions de smartphone par trimestre.
    $\quad$
  2. On a $R(x)=1\times N(1)$ et $C(1)=0,4\times N(1)$
    Le bénéfice est alors
    $\begin{align*} B&=R(1)-C(1) \\
    &=N(1)-0,4N(1)\\
    &=0,6N(1) \\
    &\approx 8,120\end{align*}$
    Le bénéfice trimestriel peut être estimé à 8,120 milliards d’euros pour un prix de vente $1~000$ €.
    $\quad$
  3. Pour  tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0,4;2]$ on a :
    $\begin{align*} B(x)&=R(x)-C(x)\\
    &=100x\e^{-2x}-40\e^{-2x}\\
    &=(100x-40)\e^{-2x}\end{align*}$
    $\quad$
  4. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $B'(x)$ ne dépend donc que de celui de $180-200x$.
    Or $180-200x=0 \ssi 200x=180 \ssi x=0,9$
    et $180-200x>0 \ssi -200x>-180 \ssi x<0,9$
    Par conséquent :
    $\bullet$ $B'(x)>0$ sur $[0;0,9]$
    $\bullet$ $B(0,9)=0$
    $\bullet$ $B'(x)<0$ sur $[0,9;2]$
    La fonction $B$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[0;0,9]$ et strictement décroissante sur l’intervalle $[0,9;2]$.
    $\quad$
  5. La fonction $B$ atteint son maximum pour $x=0,9$.
    Le bénéfice est donc maximal quand les smartphones sont vendus $900$€.
    $\quad$

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$\quad$

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