E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On modélise la valeur de vente (en milliers d’euros) d’une voiture électrique en fonction du nombre $x$ d’années à partir de sa mise sur le marché par la fonction $f$ définie sur l’intervalle
$[0 ; 10]$ par $$f(x)=35\e^{-0,22x}$$

  1. Calculer $f(0)$. Quel est le prix de vente de cette voiture au moment de la mise sur le marché ?
    $\quad$
  2. Donner une valeur approchée du prix de vente au bout de $5$ ans et $6$ mois.
    $\quad$
  3. On admet que la fonction $f$ est dérivable et on note $f’$ sa fonction dérivée. Montrer que pour tout $x$ appartenant à $[0 ; 10]$, $$f'(x)=-7,7\e^{-0,22x}$$
    $\quad$
  4. Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
    $\quad$
  5. Un client souhaite revendre sa voiture dès que celle-ci aura un prix de vente inférieur à $10~000$ euros. Après combien de mois après avoir acheté sa voiture pourra-t-il la revendre ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $f(0)=35\e^0=35$.
    Au moment de la mise sur le marché le prix de la voiture est de $35~000$ euros.
    $\quad$
  2. On a $f(5,5)=35\e^{-1,21}\approx 10,437$.
    Le prix de vente au bout de $5$ ans et $6$ mois serait d’environ $10~437$ euros.
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;10]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=35\times (-0,22)\e^{-0,22x}\\
    &=-7,7\e^{-0,22x}\end{align*}$
    $\quad$
  4. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Par conséquent $f'(x)<0$ sur l’intervalle $[0;10]$.
    On obtient alors le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  5. On a $f(5,6)\approx 10,21$ et $f(5,7)\approx 9,99$.
    Or $5,7$ ans $=5$ ans et $8,4$ mois.
    C’est donc à partir de $5$ ans et $9$ mois qu’il pourra revendre sa voiture.
    $\quad$

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$\quad$

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