E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Une entreprise produit entre $1$ millier et $5$ milliers de pièces par jour. Le coût moyen de production d’une pièce, en milliers d’euros, pour $x$ milliers de pièces produites, est donné
par la fonction $f$ définie pour tout réel $x\in[1 ; 5]$ par : $$f(x)=\dfrac{0,5x^3-3x^2+x+16}{x}$$

  1. Calculer le coût moyen de production d’une pièce lorsque l’entreprise produit $2$ milliers de pièces.
    $\quad$
  2. On admet que de $f$ est dérivable sur $[1 ; 5]$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    Montrer que pour tout réel $x\in [1; 5]$, $$f'(x)=\dfrac{x^3-3x^2-16}{x^2}$$
    $\quad$
  3. Vérifier que, pour tout réel $x$, $$x^3-3x^2-16=(x-4)\left(x^2+x+4\right)$$
    $\quad$
  4. En déduire le tableau de variation de $f$ sur $[1 ; 5]$.
    $\quad$
  5. Déterminer le nombre de pièces à fabriquer pour que le coût moyen de production d’une pièce soit minimal, ainsi que la valeur de ce coût minimal.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} f(2)&=\dfrac{0,5\times 2^3-3\times 2^2+2+1}{2}\\
    &=5\end{align*}$
    Lorsque l’entreprise produit $2$ milliers de pièce le coût moyen de production d’une pièce est de $5~000$ euros.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x \in [1;5]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\left(0,5\times 3x^2-6x+1\right)x-\left(0,5x^3-3x^2+x+16\right)\times 1}{x^2}\\
    &=\dfrac{1,5x^3-6x^2+x-0,5x^3+3x^2-x-16}{x^2}\\
    &=\dfrac{x^3-3x^2-16}{x^2}\end{align*}$
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*}&(x-4)\left(x^2+x+4\right)\\
    =~&x^3+x^2+4x-4x^2-4x-16\\
    =~&x^3-3x^2-16\end{align*}$
    $\quad$
  4. Ainsi pour tout réel $x\in[1;5]$ on a $f'(x)=\dfrac{(x-4)\left(x^2+x+4\right)}{x^2}$
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $(x-4)\left(x^2+x+4\right)$
    $x-4=0\ssi x=4$ et $x-4>0 \ssi x>4$
    Le discriminant de $x^2+x+4$ est :
    $\begin{align*} \Delta&=1^2-4\times 1\times 4\\
    &=-15\\
    &<0\end{align*}$
    Le coefficient principal est $a=1>0$.
    Par conséquent $x^2+x+4>0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  5. D’après le tableau de variations la fonction $f$ atteint son minimum pour $x=4$ et $f(4)=1$
    Le coût de production d’une pièce est minimal quand elle fabrique $4~000$ pièces. Ce coût est alors de $1~000$ €.
    $\quad$

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$\quad$

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