E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[0; 10]$ par : $f(x)=60x\e^{-0,5x}$.
La fonction dérivée de la fonction $f$ est notée $f’$.

  1. Démontrer que, pour tout réel $x$, $f'(x)=-30(x-2)\e^{-0,5x}$.
    $\quad$
  2. Déterminer le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $[0 ; 10]$.
    $\quad$
  3. Établir le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; 10]$.
    On indiquera dans ce tableau les valeurs exactes des extremums.
    $\quad$
  4. Quelles sont les coordonnées du point en lequel la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ est parallèle à l’axe des abscisses ?
    $\quad$
  5. Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d’abscisse $0$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. L fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;10]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x\in[0;10]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=60\e^{-0,5x}+60x\times \left(-0,5\e^{-0,5x}\right)\\
    &=(60-30x)\e^{-0,5x}\\
    &=-30(x-2)\e^{-0,5x}\end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-30(x-2)$.
    Or $-30(x-2)=0 \ssi x-2=0 \ssi x=2$
    et $-30(x-2)>0\ssi x-2<0 \ssi x<2$
    Par conséquent :
    $\bullet$ $f'(x)>0$ sur $[0;2[$;
    $\bullet$ $f'(2)=0$;
    $\bullet$ $f'(x)<0$ sur $]2;10]$.
    $\quad$
  3. On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  4. $f'(x)=0 \ssi x=2$
    La tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ est parallèle à l’axe des abscisses au point de coordonnées $\left(2;120\e^{-1}\right)$.
    $\quad$
  5. Une équation de cette tangente est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
    Or $f'(0)=60$ et $f(0)=0$.
    Une équation de cette tangente est donc $y=60x$.
    $\quad$

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$\quad$

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