Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$ par $f(x) = 3x\e^{-0,4x}$
La fonction dérivée de la fonction $f$ est notée $f’$.
On admet que la fonction $f’$ a pour expression $f'(x)=(-1,2x+3)\e^{-0,4x}$.

1.  Déterminer le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$.
   $\quad$
2. En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$.
   $\quad$
3. Un sportif a pris un produit dopant. La fonction $f$ modélise la quantité, en mg/L, de ce produit dopant présent dans le sang du sportif $x$ heures après la prise.
   a. Pourquoi peut-on affirmer que ce produit dopant n’est pas naturellement présent dans l’organisme du sportif ?
   $\quad$
   b. Combien de temps après son absorption, ce produit dopant sera-t-il présent en quantité maximale dans le sang du sportif ?
   $\quad$
   c. Le sportif absorbe ce produit dopant au début d’une séance d’entraînement.
   Le même jour, $6$ heures après le début de cette séance d’entraînement, il est soumis à un contrôle anti-dopage. Celui-ci se révèlera positif si la quantité de produit dopant présent dans l’organisme de ce sportif dépasse $1,4$ mg/L.
   Ce contrôle anti-dopage sera-t-il positif ? Justifier.
   $\quad$

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