E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Une entreprise fabrique un engrais biologique. Chaque jour, le volume d’engrais fabriqué est compris entre $5$ m$^3$ et $60$ m$^3$.

Le coût moyen quotidien de production de cet engrais, exprimé en centaines d’euros, est modélisé par la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[5 ; 60]$ par : $$f(x)=\dfrac{x^2-15x+400}{x}$$
où $x$ est le volume quotidien d’engrais fabriqué, exprimé en m$^3$.

  1. Déterminer le coût moyen quotidien pour la production de $5$ m$^3$ d’engrais.
    $\quad$
  2. Quels volumes d’engrais faut-il fabriquer pour avoir un coût moyen de production égal à $4~300$ € ($43$ centaines d’euros) ?
    $\quad$
  3. Pour quel volume d’engrais fabriqué le coût moyen de production est-il minimal ? Déterminer ce coût moyen minimal.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} f(5)&=\dfrac{5^2-15\times 5 +400}{5}\\
    &=70\end{align*}$
    Le coût moyen pour la fabrication de $5$ m$^3$ d’engrais est $7~000$ euros.
    $\quad$
  2. On veut déterminer sur $[5;60]$ les solutions de
    $\begin{align*} f(x)=43&\ssi \dfrac{x^2-15x+400}{x}=43 \\
    &\ssi \dfrac{x^2-15x+400}{x}-43=0\\
    &\ssi \dfrac{x^2-15x+400-43x}{x}=0\\
    &\ssi \dfrac{x^2-58x+400}{x}=0\end{align*}$
    Déterminons les racines de $x^2-58x+400$
    $\begin{align*}\Delta&=(-58)^2-4\times 1\times 400\\
    &=1~764\\
    &>0\end{align*}$
    Les racines sont donc :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{58-\sqrt{1~764}}{2}\\
    &=8\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{58+\sqrt{1~764}}{2}\\
    &=50\end{align*}$
    Il faut donc fabriquer $8$ ou $50$ m$^3$ d’engrais pour avoir un coût moyen de production égal à $4~300$ euros.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[5;60]$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Pour tout réel $x$ appartenant à $[5;60]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{(2x-15)x-1\times \left(x^2-15x+400\right) }{x^2} \\
    &=\dfrac{2x^2-15x-x^2+15x-400}{x^2} \\
    &=\dfrac{x^2-400}{x^2}\end{align*}$
    Un carré étant toujours positif, le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $x^2-400$.
    Or, sur $[5;60]$,
    $\begin{align*}x^2-400>0&\ssi x^2>400\\
    &\ssi x>\sqrt{400}\\
    &\ssi x>20\end{align*}$
    La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $[5;20]$ et strictement croissante sur l’intervalle $[20;60]$.
    Il faut donc fabriquer $20$ m$^3$ d’engrais pour que le coût moyen de production soit minimal.
    $f(20)=25$.
    Ce coût minimal est alors $2~500$ euros.
    $\quad$

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$\quad$

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