E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\left(x^2-2,5x+1\right)\e^x$
.

  1. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.
    a. Montrer que, pour tout réel $x$, $f'(x)=\left(x^2-0,5x-1,5\right)\e^x$.
    $\quad$
    b. Étudier les variations de $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  2. On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative dans un repère et $\mathcal{T}$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ au point $A$ d’abscisse $0$.
    a. Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{C}_f$.
    $\quad$
    b. On admet que la tangente $\mathcal{T}$ recoupe la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $P$ d’abscisse $a$ strictement positive. A l’aide de votre calculatrice, donner un encadrement de $a$ au dixième près.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=(2x-2,5)\e^x+\left(x^2-2,5x+1\right)\e^x\\
    &=\left(2x-2,5+x^2-2,5x+1\right)\e^x\\
    &=\left(x^2-0,5x-1,5\right)\e^x\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x^2-0,5x-1,5$.
    Il s’agit d’un polynôme du second degré dont le coefficient principal est $a=1>0$.
    Son discriminant est :
    $\begin{align*} \Delta&=(-0,5)^2-4\times 1\times (-1,5)\\
    &=6,25\\
    &>0\end{align*}$
    Il possède deux racines réelles :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{0,5-\sqrt{6,25}}{2}\\
    &=-1\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{0,5+\sqrt{6,25}}{2}\\
    &=1,5\end{align*}$
    Ainsi :
    $\bullet$ $f'(x)>0$ sur $]-\infty;-1[\cup]1,5;+\infty[$
    $\bullet$ $f'(-1)=f'(1,5)=0$
    $\bullet$ $f'(x)<0$ sur $]-1;1,5[$
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]-\infty;-1]\cup[1,5;+\infty[$ et strictement décroissante sur $[-1;1,5]$.
    $\quad$
  2. a. Une équation de $\mathcal{T}$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
    $f(0)=1$ et $f'(0)=-1,5$.
    Une équation de la droite $\mathcal{T}$ est donc $y=-1,5x+1$.
    $\quad$
    b. D’après la calculatrice $a\approx 1,8$.
    $\quad$

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$\quad$

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