E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Dans la figure ci-dessous, on a tracé $C_f$, la courbe représentative d’une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ ainsi que les tangentes à $C_f$ aux points d’abscisses $-2$, $-1$ et $0$.

  1. Recopier sur la copie en le complétant le tableau de valeurs ci-dessous.
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    x&-1&0\\
    \hline
    f(x)&\phantom{123}&\phantom{123}\\
    \hline
    f'(x)&&\\
    \hline
    \end{array}$$
    On admet que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par : $$f(x)=x^3+3x^2+2x+1$$
  2. a. Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$.
    $\quad$
    b. Résoudre dans $\R$ l’équation : $f'(x)=0$.
    $\quad$
  3. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
    $\quad$
  4. Le point $S(-4 ; -3)$ appartient-il à la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $x=-2$ ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    x&-1&0\\
    \hline
    f(x)&\phantom{1}1\phantom{1}&\phantom{1}1\phantom{1}\\
    \hline
    f'(x)&-1&2\\
    \hline
    \end{array}$$
    $C_f$ passe par le point de coordonnées $(-1;1)$ donc $f(-1)=1$.
    $C_f$ passe par le point de coordonnées $(0;1)$ donc $f(0)=1$.
    $f'(-1)$ est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse $-1$ donc $f'(-1)=-1$.
    $f'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse $-1$ donc $f'(0)=2$.
    $\quad$
  2. a. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=3x^2+3\times 2x+2\\
    &=3x^2+6x+2\end{align*}$
    $\quad$
    b. $f'(x)=0\ssi 3x^2+6x+2=0$
    $\begin{align*} \Delta&=6^2-4\times 3\times 2\\
    &=12\\
    &>0\end{align*}$
    L’équation $f'(x)=0$ possède donc deux solutions réelles :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-6-\sqrt{12}}{6}\\
    &=-\dfrac{3+\sqrt{3}}{3}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-6+\sqrt{12}}{6}\\
    &=\dfrac{-3+\sqrt{3}}{3}\end{align*}$.
    $\quad$
  3. Le coefficient principal du polynôme du second degré $3x^2+6x+2$ est $a=3>0$.
    On obtient donc le tableau de variation suivant :

    $\quad$
  4. Une équation de la tangente à $C_f$ au point d’abscisse $-2$ est de la forme $y=f(-2)\left(x-(-2)\right)+f(-2)$
    Or $f(-2)=1$ et $f'(-2)=2$
    Une équation de cette droite est donc $y=2(x+2)+1$ soit $y=2x+5$.
    $\begin{align*} 2x_S+5&=2\times (-4)+5 \\
    &=-3\\
    &=y_S\end{align*}$
    Le point $S$ appartient donc à la tangente à $C_f$ au point d’abscisse $-2$.
    $\quad$

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$\quad$

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