E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

  1. Étudier le signe de la fonction $P$ définie sur $\R$ par $P(x) = x^2+4x+3$.
    $\quad$

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]-2; +\infty[$ par $$f(x) =\dfrac{x^2+x-1}{x+2}$$ et on note $C_d$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]-2; +\infty[$.

  1. Montrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $]2; +\infty[$, $$f'(x)=\dfrac{P(x)}{(x+2)^2}$$ où $f’$ est la fonction dérivée de $f$.
    $\quad$
  2. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $]-2; +\infty[$ et construire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $]-2; +\infty[$.
    $\quad$
  3. Donner le minimum de la fonction $f$ sur $]-2; +\infty[$ et la valeur pour laquelle il est atteint (on donnera les valeurs exactes).
    $\quad$
  4. Déterminer le coefficient directeur de la tangente $T$ à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $2$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $P$ est une fonction polynôme du second degré.
    $\begin{align*} \Delta&=4^2-4\times 1\times 3 \\
    &=4\\
    &>0\end{align*}$
    Elle possède donc deux racines réelles :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-4-\sqrt{4}}{2}\\
    &=-3\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-4+\sqrt{4}}{2}\\
    &=-1\end{align*}$
    Le coefficient principal est $a=1>0$.
    Ainsi :
    – $P(x)<0$ sur l’intervalle $]-3;-1[$
    – $P(x)>0$ sur $]-\infty;-3[\cup]-1;+\infty[$
    – $P(-3)=P(-1)=0$
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]-2;+\infty[$ comme quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Pour tout réel $x>-2$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{(2x+1)(x+2)-1\times \left(x^2+x-1\right)}{(x+2)^2} \\
    &=\dfrac{2x^2+4x+x+2-x^2-x+1}{(x+2)^2} \\
    &=\dfrac{x^2+4x+3}{(x+2)^2}\\
    &=\dfrac{P(x)}{(x+2)^2}\end{align*}$
    $\quad$
  3. Sur $]-2;+\infty[$ on a $(x+2)^2>0$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $P(x)$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$
  4. D’après le tableau de variations précédent, le minimum de la fonction $f$ est atteint pour $x=-1$ et il faut $-1$.
    $\quad$
  5. Une équation de la droite $T$ est de la forme $y=f'(2)(x-2)+f(2)$
    Or $f(2)=\dfrac{5}{4}$ et $f'(2)=\dfrac{15}{16}$
    Une équation de $T$ est donc $y=\dfrac{15}{16}(x-2)+\dfrac{5}{4}$ soit $y=\dfrac{15}{16}x-\dfrac{5}{8}$
    $\quad$

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$\quad$

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