E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

La courbe ci-dessous représente dans un repère du plan une fonction $f$ définie et dérivable sur l’ensemble des nombres réels.
Les points $G (-2 ; 5)$ et $H (0 ; 1)$ appartiennent à la courbe représentative de la fonction $f$ et les tangentes à la courbe aux points $G$ et $H$ sont horizontales.

  1. Déterminer $f(0)$, $f(-2)$, $f'(0)$ et $f'(-2)$.
    $\quad$
  2. On admet que pour tout réel $x$, $f(x)$ peut s’écrire sous la forme :
    $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, où $a$, $b$, $c$ et $d$ désignent des nombres réels.
    a. Donner une expression de $f'(x)$.
    $\quad$
    b. Déterminer les valeurs des réels $c$ et $d$.
    $\quad$
    c. Déterminer deux équations que vérifient les réels $a$ et $b$.
    $\quad$
    d. En déduire que $f(x)=x^3+3x^2+1$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Le point $H(0;1)$ appartient à la courbe.
    Donc $f(0)=1$.
    Le point $G(-2;5)$ appartient à la courbe.
    Donc $f(-2)=5$.
    Les tangentes à la courbe aux points $G$ et $H$ sont horizontales.
    Donc $f'(0)=0$ et $f'(-2)=0$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ on a  $$f'(x)=3ax^2+2bx+c$$
    $\quad$
    b. On sait que $f'(0)=0$
    Or $f'(0)=c$ donc $c=0$
    $\quad$
    On sait que $f(0)=1$
    Or $f(0)=d$ donc $d=1$.
    Ainsi $f(x)=ax^3+bx^2+1$ et $f'(x)=3ax^2+2bx$.
    $\quad$
    c. $f(-2)=5$ et $f(-2)=-8a+4b+1$
    Donc $-8a+4b+1=5 \ssi -8a+4b=4 \ssi -2a+b=1$
    $f'(-2)=0$ et $f'(-2)=12a-4b$
    Donc $12a-4b=0\ssi 3a-b=0$
    Les réels $a$ et $b$ vérifient donc les équations
    $\begin{cases} -2a+b=1\\3a-b=0\end{cases}$
    $\quad$
    d. On a
    $\begin{align*}\begin{cases} -2a+b=1\\3a-b=0\end{cases}&\ssi \begin{cases} b=3a\\-2a+3a=1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a=1\\b=3\end{cases}\end{align*}$
    Par conséquent, $f(x)=x^3+3x^2+1$.
    $\quad$

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$\quad$

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