E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Une entreprise produit du tissu.

Le coût total de production (en €) de l’entreprise est modélisé par la fonction $C(x)=15x^3-120x^2+500x+750$ où $x$ est la longueur de tissu fabriqué exprimée en kilomètre, $x$ étant compris entre $0$ et $10$.

Chaque kilomètre de tissu est vendu $680$ €.

On note $B(x)$ le résultat de l’entreprise, c’est-à-dire la différence entre la recette et le coût de production, pour la vente de $x$ kilomètres de tissu.

  1. Quel est le résultat de l’entreprise pour la vente de $3$ kilomètres de tissu ?
    $\quad$
  2. Montrer que : $B(x)=-15x^3+120x^2+180x-750$.
    $\quad$
  3. Donner une expression de $B'(x)$, où $B’$ est la fonction dérivée de la fonction $B$.
    $\quad$
  4. Dresser le tableau de signes de $B'(x)$ sur $[0; 10]$ puis le tableau de variations de la fonction $B$.
    $\quad$
  5. Combien de kilomètres de tissu l’entreprise doit-elle produire afin d’obtenir un résultat maximal ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a $C(3)=1~575$.
    Par conséquent
    $\begin{align*}R(3)&=680\times 3-C(3) \\
    &=465\end{align*}$
    Le résultat de l’entreprise pour la vente de $3$ kilomètres de tissu est $465$ €.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;10]$ on a :
    $\begin{align*} B(x)&=680x-\left(15x^3-120x^2+500x+750\right) \\ &=-15x^3+120x^2+180x-750\end{align*}$
    $\quad$
  3. La fonction $B$ est dérivable sur $[0;10]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $[0;10]$.
    Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;10]$ on a :
    $\begin{align*} B'(x)&=-15\times 3x^2+120\times 2x+180 \\&=-45x^2+240x+180\end{align*}$
    $\quad$
  4. On considère le trinôme $-45x^2+240x+180$ où $a=-45$, $b=240$ et $c=180$.
    Le discriminant est $\Delta = 240^2-4\times (-45)\times 180=90~000>0$
    Les racines sont donc :
    $x_1=\dfrac{-240-\sqrt{90~000}}{-90}=6$ et $x_2=\dfrac{-240-\sqrt{90~000}}{-90}=-\dfrac{2}{3}$.
    $a=-45<0$
    Cela signifie donc que le trinôme est strictement négatif sur $[6;10]$, nul en $6$ et strictement positif sur $[0;6]$.
    On obtient le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  5. D’après le tableau de variations précédent, l’entreprise doit produit $6$ kilomètres de tissu pour obtenir un résultat maximal.
    $\quad$

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$\quad$

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