E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Une entreprise pharmaceutique fabrique un soin antipelliculaire. Elle peut produire entre $200$ et $2~000$ litres de produit par semaine. Le résultat, en dizaines de milliers d’euros, réalisé pour la production et la vente de $x$ centaines de litres est donné par la fonction $R$ définie par :

$\hspace{3cm}R(x)=(5x-30)\e^{-0,25x}$ pour tout réel $x \in[2;20]$

  1. Calculer le résultat réalisé par la fabrication et la vente de $7$ centaines de litres de produit. On l’arrondira à l’euro près.
    $\quad$
  2. Vérifier que pour la fabrication et la vente de $400$ litres de produit, l’entreprise réalise un résultat négatif (appelé déficit).
    $\quad$
  3. Résoudre l’inéquation $R(x) \pg  0$, d’inconnue $x$. Interpréter dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  4. On note $R’$ la dérivée de la fonction $R$.
    Un logiciel de calcul formel donne : $R'(x) = (-1,25𝑥+12,5)\e^{-0,25x}$.
    En déduire la quantité de produit que l’entreprise doit produire et vendre pour réaliser le résultat maximal.

$\quad$


$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} R(7)&=(5\times 7-30)\e^{-0,25\times 7} \\
    &=5\e^{-1,75} \\
    &\approx 0,868~9\end{align*}$
    Le résultat pour la production et la vente de $7$ centaines de litres est environ égal à $^8~689$ euros.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} R(4)&=(5\times 4-30)\e^{-0,25\times 4} \\
    &=-10\e^{-1} \\
    &<0\end{align*}$
    L’entreprise réalise un résultat négatif quand elle fabrique et vend $400$ litres de produit.
    $\quad$
  3. $R(x)\pg 0 \ssi (5x-30)\e^{-0,25x} \pg 0$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Donc :
    $\begin{align*} R(x)\pg 0&\ssi 5x-30 \pg 0\\
    &\ssi 5x\pg 30 \\
    &\ssi x\pg 6\end{align*}$
    L’entreprise réalise un résultat positif si elle fabrique et elle vend au moins $600$ litres de produit.
    $\quad$
  4. On étudie le signe de $R'(x)$
    $R'(x)\pg 0 \ssi (-1,25x+12,5)\e^{-0,25x} \pg 0$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Donc
    $\begin{align*} R'(x)> 0 &\ssi -1,25x+12,5> 0 \\
    &\ssi -1,25x > -12,5 \\
    &\ssi x < 10\end{align*}$
    Par conséquent $R$ est strictement croissante sur l’intervalle $[2;10]$ et strictement croissante sur l’intervalle $[10;20]$.
    La fonction $R$ atteint donc son maximum en $x=10$.
    L’entreprise doit donc produire et vendre $1~000$ litres de produit pour réaliser le résultat maximal.
    $\quad$

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$\quad$

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