E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Le plan est muni d’un repère orthonormé $\Oij$.
On considère les points $A$, $B$ et $C$ de coordonnées : $A (7 ; -2)$, $B (7 ; 4)$ et $C(1 ; 1)$.

  1. Montrer que $Y=1$ est une équation de la droite $\left(d_1\right)$ passant par $C$ et perpendiculaire à
    $(AB)$.
    $\quad$
  2. Que représente cette droite pour le triangle $ABC$ ?
    $\quad$
  3. Donner une équation de la droite $\left(d_2\right)$, hauteur du triangle $ABC$ issue du sommet $B$.
    $\quad$
  4. On appelle $H$ le point d’intersection des droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$.
    Donner en justifiant la valeur du produit scalaire : $\vect{AH}.\vect{CB}$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix}$.
    Une équation cartésienne de la droite $\left(d_1\right)$ est donc de la forme $6y+c=0$
    Le point $C(1;1)$ appartient à $\left(d_1\right)$.
    Par conséquent $6+c=0 \ssi c=-6$.
    Une équation de $\left(d_1\right)$ est donc $6y-6=0$ soit $y=1$.
    $\quad$
  2. La droite $\left(d_1\right)$ est donc la hauteur issue de $C$ du triangle $ABC$.
    $\quad$
  3. La droite $\left(d_2\right)$ passe donc par $B$ et est perpendiculaire à $(AC)$.
    $\vect{AC}\begin{pmatrix}-6\\3\end{pmatrix}$
    Une équation de $\left(d_2\right)$ est donc de la forme $-6x+3y+c=0$
    Le point $B(7;4)$ appartient à cette droite.
    Par conséquent $-72+12+c=0 \ssi c=60$.
    Une équation de $\left(d_2\right)$ est donc $-6x+3y+60=0$ soit $-2x+y+20=0$.
    $\quad$
  4. Le point $H$ est donc l’orthocentre du triangle $ABC$. Par conséquent la droite $(AH)$ est la hauteur issue du point $A$ du triangle $ABC$. Elle est donc perpendiculaire à la droite $(BC)$.
    Ainsi $\vect{AH}.\vect{CB}=0$.
    $\quad$





[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence