Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Le plan est muni d’un repère orthonormé $\Oij$.
On considère les points $A$, $B$ et $C$ de coordonnées : $A (7 ; -2)$, $B (7 ; 4)$ et $C(1 ; 1)$.

Montrer que $Y=1$ est une équation de la droite $\left(d_1\right)$ passant par $C$ et perpendiculaire à
$(AB)$.
$\quad$
Que représente cette droite pour le triangle $ABC$ ?
$\quad$
Donner une équation de la droite $\left(d_2\right)$, hauteur du triangle $ABC$ issue du sommet $B$.
$\quad$
On appelle $H$ le point d’intersection des droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$.
Donner en justifiant la valeur du produit scalaire : $\vect{AH}.\vect{CB}$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix}$.
Une équation cartésienne de la droite $\left(d_1\right)$ est donc de la forme $6y+c=0$
Le point $C(1;1)$ appartient à $\left(d_1\right)$.
Par conséquent $6+c=0 \ssi c=-6$.
Une équation de $\left(d_1\right)$ est donc $6y-6=0$ soit $y=1$.
$\quad$
La droite $\left(d_1\right)$ est donc la hauteur issue de $C$ du triangle $ABC$.
Remarque : Le triangle $ABC$ étant isocèle en $C$ (on le prouve en calculant $AC$ et $BC$), cette droite est également la médiane issue de $C$ et la médiatrice du segment $[AB]$.
$\quad$
La droite $\left(d_2\right)$ passe donc par $B$ et est perpendiculaire à $(AC)$.
$\vect{AC}\begin{pmatrix}-6\\3\end{pmatrix}$
Une équation de $\left(d_2\right)$ est donc de la forme $-6x+3y+c=0$
Le point $B(7;4)$ appartient à cette droite.
Par conséquent $-42+12+c=0 \ssi c=30$.
Une équation de $\left(d_2\right)$ est donc $-6x+3y+30=0$ soit $-2x+y+10=0$.
$\quad$
Le point $H$ est donc l’orthocentre du triangle $ABC$. Par conséquent la droite $(AH)$ est la hauteur issue du point $A$ du triangle $ABC$. Elle est donc perpendiculaire à la droite $(BC)$.
Ainsi $\vect{AH}.\vect{CB}=0$.
$\quad$

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$\quad$

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