E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\Oij$. On considère le triangle $OAB$ où $O$ est l’origine du repère, $A$ le point de coordonnées $(8 ; 0)$ et $B$ celui de coordonnées $(0 ; 6)$.

On considère le point $E$, milieu du segment $[AB]$.

La figure est donnée en annexe, elle sera complétée au fur et à mesure et sera rendue avec la copie.

On rappelle que dans un triangle, la médiane issue d’un sommet est la droite passant par ce sommet et par le milieu du côté opposé et que le centre de gravité d’un triangle est le point de concours de ses $3$ médianes.

  1. Calculer les $2$ produits scalaires suivants :
    a. $\vect{OA}.\vect{OB}$
    $\quad$
    b. $\vect{OA}.\vect{OE}$
    $\quad$
  2.  a. Justifier que l’équation $1,5x + y-6 = 0$ est une équation cartésienne de la médiane issue du point $B$ dans le triangle $OAB$. Tracer cette médiane sur la figure annexe.
    $\quad$
    b. Déterminer une équation de la médiane issue de $O$ dans le triangle $OAB$.
    $\quad$
    c. Déterminer les coordonnées du point $G$, centre de gravité du triangle $OAB$.
    Placer le point $G$ sur la figure annexe.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. Le triangle $OAB$ est rectangle en $O$. Par conséquent $\vect{OA}.\vect{OB}=0$.
    $\quad$
    b. $E$ est le milieu de $[AB]$. Ses coordonnées sont donc $\left(\dfrac{8+0}{2};\dfrac{0+6}{2}\right)$ soit $(4;3)$.
    Par conséquent $\vect{OA}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}8\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{OE}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 4\\3\end{pmatrix}$.
    Ainsi :
    $\begin{align*}\vect{OA}.\vect{OE}&=8\times 4+0\times 3\\
    &=32\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. $1,5\times 0+6-6=0$ : la droite d’équation $1,5x+y-6=0$ passe donc par le point $B$.
    Le point $F(4;0)$ est le milieu du segment $[OA]$.
    $1,5\times 4+0-6=6-6=0$ : la droite d’équation $1,5x+y-6=0$ passe donc par le point $F$.
    Ainsi, $1,5x+y-6=0$ est une équation cartésienne de la médiane issue du point $B$ dans le triangle $OAB$.
    Voir la figure à la question 2.c
    $\quad$
    b. Cette médiane passe par l’origine du repère.
    Une équation de cette droite est donc de la forme $y=ax$.
    Elle passe par le point $E(4;3)$ Par conséquent $3=4a \ssi a=\dfrac{3}{4}$.
    Une équation de la médiane issue du point $O$ dans le triangle $OAB$ est donc $y=\dfrac{3}{4}x$.
    $\quad$
    c. Le point $G$ est le point d’intersection des médianes du triangle $OAB$.
    Les coordonnées du point $G$ sont donc solution du système :
    $\begin{align*} \begin{cases} y=\dfrac{3}{4}x\\1,5x+y-6=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} y=\dfrac{3}{4}x\\1,5x+\dfrac{3}{4}x-6=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}y=\dfrac{3}{4}x\\2,25x=6\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}y=\dfrac{3}{4}x\\x=\dfrac{8}{3}\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}x=\dfrac{8}{3}\\y=2\end{cases} \end{align*}$
    Le point $G$ a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{8}{3};2\right)$.
    $\quad$

    $\quad$

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$\quad$

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