E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points $A(-2 ; 1)$, $B(1 ; 2)$ et $E(0 ; -5)$. On appelle $\boldsymbol{C}$ le cercle de centre $A$ passant par $B$.

  1. Justifier qu’une équation du cercle $\boldsymbol{C}$ est $(x+2)^2+(y-1)^2=10$.
    $\quad$
  2. Calculer $\vect{AB}.\vect{AE}$.
    $\quad$
  3. Que peut-on en déduire pour les droites $(AB)$ et $(AE)$ ?
    $\quad$
  4. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AE)$.
    $\quad$
  5. Calculer les coordonnées des points d’intersection de $(AE)$ et du cercle $\boldsymbol{C}$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} AB&=\sqrt{\left(1-(-2)\right)^2+(2-1)^2}\\
    &=\sqrt{3^2+1^2}\\
    &=\sqrt{10}\end{align*}$
    Ainsi une équation du cercle $\boldsymbol{C}$ est $\left(x-(-2)\right)^2+(y-1)^2=\sqrt{10}^2$ soit $(x+2)^2+(y-1)^2=10$.
    $\quad$
  2. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{AE}\begin{pmatrix}2\\-6\end{pmatrix}$.
    Donc :
    $\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AE}&=3\times 2+1\times (-6)\\
    &=0\end{align*}$
    $\quad$
  3. Les droites $(AB)$ et $(AE)$ sont donc perpendiculaires.
    $\quad$
  4. Le vecteur $\vect{AB}$ est donc normal à la droite $(AE)$.
    Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est donc de la forme $3x+y+c=0$.
    Le point $E(0;-5)$ appartient à cette droite.
    Par conséquent $0-5+c=0\ssi c=5$.
    Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est donc $3x+y+5=0$.
    $\quad$
  5. Les coordonnées des points d’intersection sont solution du système :
    $\begin{align*} \begin{cases}3x+y+5=0\\(x+2)^2+(y-1)^2=10\end{cases}&\ssi \begin{cases}y=-5-3x\\(x+2)^2+(-5-3x-1)^2=10\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases}y=-5-3x\\x^2+4x+4+(-6-3x)^2=10\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases}y=-5-3x\\x^2+4x+4+36+36x+9x^2-10=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}y=-5-3x\\10x^2+40x+30=0\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases}y=-5-3x\\x^2+4x+3=0\end{cases}\end{align*}$
    Le discriminant de l’équation du second degré $x^2+4x+3=0$ est :
    $\begin{align*} \Delta&=4^2-4\times 1\times 3\\
    &=4\\
    &>0\end{align*}$
    Les solutions de cette équation sont donc :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-4-\sqrt{4}}{2}\\
    &=-3\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-4+\sqrt{4}}{2}\\
    &=-1\end{align*}$
    Si $x=-3$ alors $y=-5-3x=4$
    Si $x=-1$ alors $y=-5-3x=-2$
    Ainsi, les points d’intersection de $(AE)$ et du cercle $\boldsymbol{C}$ sont les points de coordonnées $(-3;4)$ et $(-1;-2)$.
    $\quad$

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$\quad$

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