E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Le centre commercial « L’autre faubourg » de Cholet a été conçu en forme circulaire de $110$ m de rayon permettant une visibilité à $360$° et une accessibilité optimale, notamment aux personnes à mobilité réduite.

Le parking, situé à l’intérieur du disque, dessert l’ensemble des $32$ magasins.

On munit le plan d’un repère orthonormé de centre $O$.

L’unité est le mètre.

Les entrées des magasins du centre commercial sont situées sur le cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ et de rayon $110$.

  1. Une allée centrale couverte a été construite afin de permettre aux automobilistes de rejoindre les magasins en cas d’intempéries. Elle est modélisée par la droite $(AD)$ avec $A(-30; 15)$ et $D(80; -40)$.
    a. Déterminer une équation du cercle $\mathcal{C}$.
    $\quad$
    b. Démontrer que le point $O$ appartient à la droite $(AD)$.
    $\quad$
  2. Camille qui vient de garer sa voiture en $G(-10; -10)$ sous une pluie battante, souhaite se mettre à l’abri sous cette allée centrale, le plus rapidement possible.
    a. Calculer le produit scalaire $\vect{AG}.\vect{AO}$
    $\quad$
    b. Le point de la droite $(AD)$ le plus proche de $G$ est-il $O$ ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. Une équation du cercle $\mathcal{C}$ est $(x-0)^2+(y-0)^2=110^2$ soit $x^2+y^2=12~100$.
    $\quad$
    b. $\vect{AO}\begin{pmatrix}30\\-15\end{pmatrix}$ et $\vect{AD}\begin{pmatrix}110\\-55\end{pmatrix}$
    $\begin{align*}\text{det}\left(\vect{AO},\vect{AD}\right)&=30\times (-55)-(-15)\times 110 \\
    &=-1~650+1~650\\
    &=0\end{align*}$
    Ces deux vecteurs sont donc colinéaires.
    Le point $O$ appartient bien à la droite $(AD)$.
    $\quad$
  2. a. $\vect{AG}\begin{pmatrix}20\\-25\end{pmatrix}$
    Ainsi :
    $\begin{align*} \vect{AG}.\vect{AO}&=20\times 30+(-15)\times (-25)\\
    &=600+375\\
    &=975\end{align*}$
    $\quad$
    b. $\vect{OG}\begin{pmatrix} -10\\-10\end{pmatrix}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \vect{AO}.\vect{OG}&=30\times (-10)+(-15)\times (-10)\\
    &=-300+150\\
    &=-150\\
    &\neq 0\end{align*}$
    Le point $O$ n’est donc pas le projeté orthogonal du point $G$ sur la droite $(AD)$.
    Par conséquent $O$ n’est pas le point de la droite $(AD)$ le plus proche de $G$.
    $\quad$

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$\quad$

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