E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

$\Oij$ est un repère orthonormé du plan.
On considère les points $A,B$ et $C$ de coordonnées respectives $(-2 ; 0)$, $(6 ; 0)$ et $(0 ; 6)$.
Les points $A’$, $B’$ et $C’$ milieux respectifs des segments $[BC]$, $[AC]$ et $[AB]$.
Le cercle $\Gamma$ passant par les points $A’$, $B’$ et $C’$ a pour centre le point $I$ de coordonnées $(1 ; 2)$.

  1. a. Calculer le rayon de ce cercle.
    $\quad$
    b. En déduire qu’une équation du cercle $\Gamma$ est $(x-1)^2+(y-2)^2=5$
    $\quad$
  2. Propriété des hauteurs du triangle $ABC$
    a. On admet que $O$ est le pied de la hauteur issue de $C$. Montrer que le point $O$ est sur le cercle $\Gamma$.
    $\quad$
    b. Soit $H_A$ le pied de la hauteur issue de $A$. Montrer que $H_A$ a pour coordonnées $(2 ; 4)$.
    $\quad$
    c. Justifier que la point $H_A$ est sur le cercle $\Gamma$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. Le point $A’$, milieu de $[BC]$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{6+0}{2};\dfrac{0+6}{2}\right)$ soit $(3;3)$.
    Ainsi le rayon du cercle de centre $I$ et passant par $A’$ est :
    $\begin{align*} R&=\sqrt{(3-1)^2+(3-2)^2}\\
    &=\sqrt{2^2+1^2}\\
    &=\sqrt{5}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Une équation du cercle $\Gamma$ est donc $(x-1)^2+(y-2)^2=\sqrt{5}^2$ soit $(x-1)^2+(y-2)^2=5$.
    $\quad$
  2. a. On a :
    $(0-1)^2+(0-2)^2=1+4=5$
    Donc $O(0;0)$ appartient à $\Gamma$.
    $\quad$
    b. Montrons tout d’abord que le point $H$ de coordonnées $(2;4)$ appartient à la droite $(BC)$.
    On a $\vect{BC}\begin{pmatrix} -6\\6\end{pmatrix}$ et $\vect{BH}\begin{pmatrix}-4\\4\end{pmatrix}$.
    Ainsi $\vect{BH}=\dfrac{2}{3}\vect{BC}$.
    Ces deux vecteurs sont colinéaires et donc le point $H$ appartient à la droite $(BC)$.
    $\quad$
    $\vect{AH}\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}$
    $\begin{align*}\vect{AH}.\vect{BC}&=-6\times 4+6\times 4\\
    &=0\end{align*}$
    Ainsi $(AH)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.
    Par conséquent $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$.
    Donc $H_A$ a bien pour coordonnées $(2;4)$.
    $\quad$
    c. On a $(2-1)^2+(4-2)^2=1+4=5$
    Donc $H_A$ est sur le cercle $\Gamma$.
    $\quad$

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$\quad$

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