E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Soit $\Oij$ un repère orthonormé.
On considère le cercle $\mathcal{C}$ de centre $A(2 ; 5)$ et de rayon $5$.

  1. Montrer qu’une équation du cercle $\mathcal{C}$ est : $x^2+y^2-4x-10y=-4$.
    $\quad$
  2. Vérifier que le point $B(5; 9)$ appartient à ce cercle.
    $\quad$
  3. Que peut-on dire de la tangente au cercle au point $B$ et de la droite $(AB)$ ?
    $\quad$
  4. Déterminer une équation de la tangente au cercle au point $B$.
    $\quad$
  5. Calculer les coordonnées des points d’intersection du cercle $\mathcal{C}$ avec l’axe des ordonnées.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Une équation du cercle $\mathcal{C}$ est :
    $\begin{align*} &(x-2)^2+(y-5)^2=5^2 \\
    \ssi~&x^2-4x+4+y^2-10x+25=25\\
    \ssi~&x^2-4x+y^2-10x=-4\end{align*}$
    $\quad$
  2. Si $x=5$ et $y=9$ alors
    $\begin{align*} x^2-4x+y^2-10x=25-20+81-90 \\
    &=-4\end{align*}$
    Donc $B$ appartient au cercle $\mathcal{C}$.
    $\quad$
  3. $[AB]$ est un rayon du cercle $\mathcal{C}$.
    Par conséquent la tangente au cercle au point $B$ est perpendiculaire à la droite $(AB)$.
    $\quad$
  4. Le vecteur $\vect{AB}$ est donc normal à la tangente $(d)$ au cercle au point $B$.
    $\vect{AB}\begin{pmatrix} 3\\4\end{pmatrix}$.
    Une équation de $(d)$ est alors d la forme $3x+4y+c=0$
    Le point $B(5;9)$ appartient à cette droite.
    Par conséquent $15+36+c=0 \ssi c=-51$.
    Une équation de $(d)$ est $3x+4y-51=0$.
    $\quad$
  5. Les points d’intersection du cercle $\mathcal{C}$ avec l’axe des ordonnées ont une abscisse nulle.
    Ainsi leur ordonnées sont solution de l’équation $y^2-10y+4=0$.
    Le discriminant est :
    $\begin{align*} \Delta&=(-10)^2-4\times 1\times 4 \\
    &=84\\
    &>0\end{align*}$
    Les racines sont donc :
    $\begin{align*} y_1&=\dfrac{10-\sqrt{84}}{2}\\
    &=5-\sqrt{21}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} y_1&=\dfrac{10+\sqrt{84}}{2}\\
    &=5+\sqrt{21}\end{align*}$
    Ainsi les points d’intersection du cercle $\mathcal{C}$ avec l’axe des ordonnées ont pour coordonnées $\left(0;5-\sqrt{21}\right)$ et $\left(0;5+\sqrt{21}\right)$.
    $\quad$

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$\quad$

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