E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Le rectangle $OABC$ ci-dessous représente une place touristique vue de dessus.
Le plan est muni d’un repère orthonormé $\Oij$ tel que ⃗$\vect{OC}=24\vec{i}$ et$\vect{OA}=35\vec{j}$.
Afin d’éclairer le plus grand nombre de monuments, on place au point $O$, un projecteur lumineux qui permet d’éclairer la partie du plan délimitée par les segments de droite $[OK]$ et $[OL]$ tels que $K$ est le milieu de $[AB]$ et $\vect{CL}=\dfrac{1}{5}\vect{CB}$.

  1. Déterminer par lecture graphique les coordonnées des points $A$, $B$, $C$, $K$ et $L$.
    $\quad$
  2. Un visiteur affirme : « Moins de $70\%$ de la surface de la place est éclairée ».
    Cette affirmation est-elle exacte ?
    $\quad$
  3. a. Donner les coordonnées des vecteurs $\vect{OK}$ et $\vect{OL}$.
    $\quad$
    b. Montrer que le produit scalaire $\vect{Ok}.\vect{OL}$ est égal à $533$.
    $\quad$
    c. En déduire la mesure, arrondie au degré, de l’angle $\widehat{KOL}$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Graphiquement :
    – les coordonnées de $A$ sont $(0;35)$
    – les coordonnées de $B$ sont $(24;35)$
    – les coordonnées de $C$ sont $(24;0)$
    – les coordonnées de $K$ sont $(12;35)$
    – les coordonnées de $L$ sont $(24;7)$
    $\quad$
  2. L’aire du rectangle $OABC$ est :
    $\begin{align*}\mathscr{A}_{OABC}&=24\times 35\\
    &=840\end{align*}$
    L’aire du triangle $OAK$ est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}_{OAK}&=\dfrac{12\times 35}{2}\\
    &=210\end{align*}$
    L’aire du triangle $OCL$ est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}_{OCL}&=\dfrac{24\times 7}{2}\\
    &=84\end{align*}$
    La partie non éclairée a une aire égale à $84+210=294$.
    Cela $\dfrac{294}{840}=35\%$ de la surface de la place.
    Par conséquent $65\%$ de la surface de la place est éclairée.
    L’affirmation est exacte.
    $\quad$
  3. a. Le vecteur $\vect{OK}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}12\\35\end{pmatrix}$.
    Le vecteur $\vect{OL}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}24\\7\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. Ainsi :
    $\begin{align*} \vect{OK}.\vect{OL}&=12\times 24+35\times 7\\
    &=533\end{align*}$
    $\quad$
    c. On a :
    $\begin{align*} OK&=\sqrt{12^2+35^2}\\
    &=37\end{align*}$
    $\begin{align*} OL&=\sqrt{24^2+7^2}\\
    &=25\end{align*}$
    Par définition
    $\begin{align*} \vect{OK}.\vect{OL}&=OK\times OL\times \cos\widehat{KOL} \\
    &=37\times 25\times \cos\widehat{KOL}\\
    &=925 \cos\widehat{KOL}\end{align*}$
    Par conséquent :
    $925\cos \widehat{KOL}=533 \ssi \cos \widehat{KOL}=\dfrac{533}{925}$
    Ainsi $\widehat{KOL}\approx 55$°
    $\quad$

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$\quad$

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