E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
On considère les points $A(-3 ; 1)$, $B(3 ; 5)$ et $C(7 ; 1)$ dans ce repère.
Le but de cet exercice est de déterminer les coordonnées du centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$ et le rayon de ce cercle.
On rappelle que le cercle circonscrit à un triangle est le cercle passant par les trois sommets de ce triangle.

  1. Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le plan puis construire le cercle circonscrit au triangle $ABC$.
    $\quad$
  2. Vérifier que la droite $\Delta$ d’équation $3x+2y-6=0$ est la médiatrice du segment $[AB]$.
    $\quad$
  3. Déterminer les coordonnées du point $B’$, milieu du segment $[AC]$.
    $\quad$
  4. Déterminer les coordonnées du point $I$, centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$.
    $\quad$
  5. Calculer une valeur exacte du rayon du cercle circonscrit au triangle $ABC$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient le graphique suivant :

    $\quad$
  2. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}$.
    C’est un vecteur normal à $\Delta$.
    Une équation cartésienne de $\Delta$ est donc de la forme $6x+4y+c=0$.
    On appelle $M(x;y)$ le milieu de $[AB]$.
    On a donc $\begin{cases} x=\dfrac{-3+3}{2}\\y=\dfrac{1+5}{2}\end{cases} \ssi \begin{cases} x=0\\y=3\end{cases}$
    $M$ appartient à $\Delta$ donc
    $0+12+c=0\ssi c=-12$.
    Une équation cartésienne de $Delta$ est donc $6x+4y-12=0$ soit également, en divisant chaque terme par $2$, $3x+2y-6=0$.
    $\quad$
  3. Les coordonnées du point $B’$ sont :
    $\begin{cases} x_{B’}=\dfrac{-3+7}{2}\\y_{B’}=\dfrac{1+1}{2}\end{cases} \ssi \begin{cases} x_{B’}=2\\y_{B’}=1\end{cases}$.
    Ainsi $B'(2;1)$.
    $\quad$
  4. $A$ et $C$ ont la même ordonnée. Une équation de la médiatrice au segment $[AC]$ est donc de la forme $x=k$.
    Le point $B’$ appartient à cette médiatrice. Une équation de cette droite est donc $x=2$.
    Les coordonnées du point $I$ sont donc solution du système :
    $\begin{align*} \begin{cases} 3x+2y-6=0\\x=2\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=2 \\6+2y-6=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=2\\y=0\end{cases}\end{align*}$
    $\quad$
  5. Le rayon du cercle circonscrit au triangle $ABC$ est :
    $\begin{align*} R&=IA\\
    &=\sqrt{(-3-2)^2+(1-0)^2} \\
    &=\sqrt{(-5)^2+1^2}\\
    &=\sqrt{26}\end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence